华师大数学分析（第五版)讲义第七章实数的完备性下面只要再完成（7)（2），就证明了这些定理的等价性。见下例1。例1由有限覆盖定理证明确界原理。证设S为非空数集，且S有上界，下面证明则S必有上确界。设S的上界为M，任取xES，考虑闭区间[xo,M]。假设S无上确界，那么Vxe[xo,M]有（1）当x为S的上界时，必有一个更小的上界x<x，因此x必有一个邻域△，，其中皆为S的上界；（2）当x为S的上界时，自然有S中的点x,>x，因此x必有一个邻域△，其中皆不是S的上界。这样对[x,M]中的每一点x都有一个邻域△，它要属于第一类（即每一点都是S的上界），要么属于第二类（即每一点都不是S的上界）。显然H=(A, Ixe[xo,M)构成了[xo,M]的开覆盖。根据有限覆盖定理，必有有限子覆盖H'=(A,A2,",Ak)cH注意到对应点M的邻域是第一类的，且△,(i=1,2,",k)有公共点，也都是第一类的，从而对应点x的邻域也是第一类的，矛盾。下面再给出几例子，来说明以上八个公理之间可以互推。例2区间套定理→确界原理。证设非空数集S有上界M。若S有最大值，则得证。否则，任取xS，记[a,b]=[xo,M]，把[,b]等分，如右半区间含S的点，记右半区间为[a2,b,]，否则记左半区间为[a2,b]]。再把[a2,b,]等分，同上考虑，得区间套[an,b,]记区间套所确定的唯一点为，a,≤≤b。由做法，[an，b,」的右边不含S的点，即VxeS,x<b，取极限便得VxeS,x≤=，说明=是S的一个上界。另外，>0，N，当n>时，[a,b,]（-6,5+8)。由做法，[a,b]含的6中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 下面只要再完成 ，就证明了这些定理的等价性。见下例 (7) (2) 1。 例 1 由有限覆盖定理证明确界原理。 证 设 为非空数集，且 有上界，下面证明则 必有上确界。 S S S 设 S 的上界为 M ，任取 0 x S ，考虑闭区间 0 [, ] x M 。假设 无上确界，那么 S 0 x [ , x M ]有 （1）当 x 为 的上界时，必有一个更小的上界 S 1 x x ，因此 x 必有一个邻域 x ，其中 皆为 的上界； S （2）当 x 为 S 的上界时，自然有 中的点 S 2 x x ，因此 x 必有一个邻域 x ，其中皆 不是 的上界。 S 这样对 0 [, ] x M 中的每一点 x 都有一个邻域 x ，它要属于第一类（即每一点都是 的上 界），要么属于第二类（即每一点都不是 的上界）。显然 S S H x xM x | [, ] 0 构成了 0 [, ] x M 的开覆盖。根据有限覆盖定理，必有有限子覆盖 * 1 2 , H H k 注意到对应点 M 的邻域是第一类的，且 ( 1, 2, , i i k) 有公共点，也都是第一类的，从而 对应点 0 x 的邻域也是第一类的，矛盾。 下面再给出几例子，来说明以上八个公理之间可以互推。 例 2 区间套定理确界原理。 证 设非空数集 S 有上界 M 。若 有最大值，则得证。否则， S 任取 0 x S ，记ab xM 11 0 , [, ] ，把a b 1 1 , 等分，如右半区间含 的点，记右半区间 为 S a b 2 , 2 ，否则记左半区间为a b 2 2 , 。再把a b 2 , 2 等分，同上考虑，得区间套a b n n , 。 记区间套所确定的唯一点为 ， n a n b 。由做法，a b n n , 的右边不含 的点，即 S , n x Sx b ，取极限便得 x S, x ，说明 是 的一个上界。 S 另外， 0 ，N ，当 n N 时，a b n n , (, )。由做法，a b n n , 含 的S 中国矿业大学数学学院 6
华师大数学分析（第五版）讲义第七章实数的完备性点，故存在xES,x>-6。这说明=是S的上确界。例3区间套定理→柯西收敛准则证按柯西收敛准的假设，对任给的ε>0，存在N>0，使得对一切n≥N有a-a|<,即在区间[a,-6,a+]内含有(a,)中几乎所有的项(这里及以下，为叙述简单起见，我们用“{a,)中几乎所有的项”表示“{a,)中除有限项外的所有项”）￥111据此，令6，则存在N，在区间%2a%+内含有(a,)中几乎所有的项.记22这个区间为[α1,β]11，则存在N>M），在区间4%a%+]内含有(α,)中几乎所再令6=22有的项．记[a2,β]=:ang +]n[a,β] 它也含有（α）中几乎所有的项，且满足[2,β][0,β]及β-α, 2，照以上方法得一闭区间列[αn,β,，其中每个区间都继续依次令623"'2"含有(α,)中几乎所有的项。且满足[αn, β,]-[αn1,β. ],n=1, 2, , β, -α, ≤2--→0 (n→8)即[αm,β,]是区间套。由区间套定理，存在唯一的一个数[α，β,](n=1,2,)现在证明数就是数列（a）的极限．事实上，由区间套定理的推论，对任给的ε>0，存在N>O，使得当n>N时有[αn,β,]cU(5;8)因此在U(;s)内含有(an)中除有限外的所有项，这就证得lima,=例4有限覆盖定理一聚点定理。证反证。设S是有界无限点集，但S没有聚点。取[α,b]S，由于S没有聚点，所7中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第七章 实数的完备性 点，故存在 x Sx , 。这说明 是 的上确界。 S 例 3 区间套定理柯西收敛准则 证 按柯西收敛准的假设，对任给的 0 ,存在 N 0 ,使得对一切 n N 有 n N a a ,即在区间a a n , N 内含有an 中几乎所有的项(这里及以下,为叙述 简单起见,我们用“an中几乎所有的项”表示“an中除有限项外的所有项”). 1 2 据此,令 ,则存在 ,在区间 N1 1 1 1 1 , 2 2 N N a a 内含有an 中几乎所有的项.记 这个区间为1 1 , . 2 2 2 1 1 , 2 2 N N 再令 a a 2 1 2 ，则存在 ，在区间 2 N N ( 1 ) 2 内含有an 中几乎所 有的项．记 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 , , , 2 2 N N a a ， 它也含有an 中几乎所有的项，且满足 中国矿业大学数学学院 7 1 1 2 , , 2 2 2 1 2 及 继续依次令 3 1 1 , , 2 2n ， ， 照以上方法得一闭区间列n n , ，其中每个区间都 含有an 中几乎所有的项．且满足 nn n n , , 1, 1 1 n , 2, , 1 1 0( ) 2 n n n n 即n n , 是区间套．由区间套定理，存在唯一的一个数 n n , n 1, 2, , ， 现在证明数 就是数列an 的极限．事实上，由区间套定理的推论，对任给的 0， 存在 ，使得当 时有 N 0 n N , ( U ; ) n n 因此在U(; ) 内含有an 中除有限外的所有项，这就证得 lim n n a ． 例 4 有限覆盖定理 聚点定理。 证 反证。设 是有界无限点集，但 没有聚点。取 S S ],[ Sba ，由于 S 没有聚点，所