定理3设元和2v均为正项级数，且m丛=1 00 n-oVn (如果0<1<+0，则∑4和∑同敛同散： n=1 (2如果1=0，且∑.收敛，则∑“收敛： 3如果1=+0，且∑发散，则2，发散 定理6（极限收敛法）设∑wn为正项级数，且imn'4n=l n=1 ()当p≤1时，如果0<1≤+∞，则级数∑4，发散； =] (2)当p>1时，如果0≤1<+∞，则级数∑u,收敛
1 1 1 lim (1) 1 , 0 , ; (2) 1 , 0 , 6( ) . p n n n n n n n n u n u l p l u p l u 设 为正项级数,且 当 时 如果 则级数 发散 当 时 如果 定理 极限收 则级数 敛 收敛 法 1 1 1 1 1 1 1 1 lim (1) 0 (2) 0 (3) . 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u v l v l u v l v u l v u 设 和 均为正项级数，且 如果 ，则 和 同敛同散； 如果 ，且 收敛，则 收敛； 如果 ，且 发散，则 定 发散 理
例3.判别级数的的敛散性， In n (3) n=1 1 sin- 解(I).limnsin-=lim n 1 =1, n-→o0 原级数发散， 1 n 1 (2) im3”-n lim 1 n→∞ =1,原级数收敛 n-→o 1 3 3” In n In n (3)Iim lim =0 原级数收敛， n-→o ?欢
解 (1) 1 3 lim 1 3 n n n n 1 sin limn 1 n n 1, 原级数发散. (2) 1 lim sin n n n 1 lim 1 3 n n n 1, 原级数收敛. 2 1 1 1 1 1 ln (1) sin (2) (3) 3 n n n n n n n n 例3. 判别级数的的敛散性. 2 3 2 ln (3)limn 1 n n n ln lim n n n 0 原级数收敛
例4.判别级数的的敛散性， 空+）吃+al-o月 0 1 解：少imn1n+=m2:2= 0 根据定理6 n1+)收敛 n=1 (2).limni+n1-cos=limn n 根据定理6 ∑V1+(1-cos收敛. 比较审敛法的缺点：必须找参考级数
例4. 判别级数的的敛散性. 2 1 1 1 (1) ln(1 ) (2) 1 (1 cos ) n n n n n 2 2 2 2 1 1 (1) lim ln(1 ) lim 1 n n n n n n 根据定理6 2 1 1 ln (1 ) . n n 收敛 解： 3 2 2 2 2 1 1 (2) lim 1 (1 cos ) lim ( ) n n 2 2 n n n n n n n 根据定理6 1 1 (1 cos ) . n n n 收敛 比较审敛法的缺点:必须找参考级数
判定级数的敛散性 2n2-3n+1 3n+ (2) 3"tan π n=1 2
2 7 2 1 1 2 3 1 (1) (2) 3 tan 3 2 2 n n n n n n n n 判定级数的敛散性
定理4比值审敛法（达朗贝尔d'Alembert判别法）： 设2，为正项级数，若im1=p, n=1 n-→oWn 则当p<1时级数收敛；当p>1(或p=+o∞)，时级数发散； p=1时级数可能收敛也可能发散. 证明当p为有限数时，对Vε>0,3N, 当n>N时，有 即p-E< <p+8(n>N) u
证明 1 , 0, , , , n n N u n N u 当 为有限数时 对 当 时 有 1 ( ) n n u n N u 即 1 1 lim , 1 ; 1( ), ; 1 . n n n n n u u u 设 为正项级数,若 则当 时级数收敛 当 或 时级数发散 时级数可能收敛也可能发散 定理4比值审敛法(达朗贝尔d’Alembert判别法)：