例1讨论P-级数 1 1 4+.+1 1 1+ +.的收敛性(p>0) 解设ps1,1 则P-级数发散 n 设p>1,由图可知 1.1 (p>1) 5=1+2p+3++ 1+++
解 设 p 1, 1 1 , p n n 则P 级数发散. 设 p 1, o y x ( 1) 1 p x y p 1 2 3 4 由图可知 1 1 n p p n dx n x 1 1 1 1 2 3 n p p p s n 2 1 1 1 n p p n dx dx x x 1 1 1 1 1 1 .( 0) 2 3 4 p p p p P p n 例 讨论 级数 的收敛性
=+-*品1+ 即s有界，则P-级数收敛 P-级数 当p>1时，收敛 当p≤1时，发散 重要参考级数：几何级数，P-级数，调和级数
1 1 n p dx x 1 1 1 1 (1 ) 1 p p n 1 1 p 1 , n 即s 有界 则P 级数收敛. 1 , 1 , p P p 当 时 收敛 级数 当 时 发散 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数
例2证明级数 1 是发散的. n=1 √n(n+1) 证明 发散， n(n+1) n+1, 而级数乃1 Rn+1 :级数 发散 台Vnn+1) 娇习雪r如o2女
证明 1 1 , n n( 1) n 1 1 1 , n n 1 而级数 发散 1 1 . n n n( 1) 级数 发散 1 1 2 . n n n( 1) 例 证明级数 是发散的 1 2 0 1 1 (1) 2 sin (2) d 3 1 n n n n n x x x 练习
定理3（比较审敛法的极限形式）： 设∑，和之均为正项级数，且1im=l 0 1=1 n=1 n-→oVn (山)如果0≤1<+0，且∑收敛，则∑4收敛： n=1 n=1 00 (2)如果0<1≤+0，且∑'n发散，则∑4发散. n=1 n=1 证：根据极限定义，对e>0,存在NeZ,当n>N时， I-k8)
定理3(比较审敛法的极限形式) : 1 1 1 1 1 1 lim (1) 0 (2) 0 n n n n n n n n n n n n n n n u u v l v l v u l v u 设 和 均为正项级数，且 如果 ，且 收敛，则 收敛； 如果 ，且 发散，则 发散. 证:
(l-e)yn≤un≤(l+e)ym(n>N) (1)当0≤l<+oo时，取=1，即wn≤(I+1)yn,由定理2 推论知，若∑y收敛，则∑4，收敛。 =1 n=1 (2)由已知条件imn=k必存在(0≤k<+o),若假 n-→o儿n 设，收敛，由①知∑，必定收敛，而∑，发散， 因此∑4也发散
( ) ( ) ( ) n n n l v u l v n N 1 1 1 1 (2) lim (0 ), , (1) , . n n n n n n n n n n n v k k u u v v u 由已知条件 = 必存在 若假 设 收敛 由 知 必定收敛,而 发散 因此 也发散