00 P257题3.设正项级数∑4n和∑yn都收敛，证明级数 n=1 n=l ∑(un+vn)也收敛. n=1 证明：因lim un=lim v=0,.存在W>0,当n>N时 n->oo <山n,<yn 又因 (4n+vn)2≤2(4n2+yn2)<2(un+yn）(n>N 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确 OaO⊙@⑧
P257 题3. 设正项级数 和 也收敛 . 证明: 因 lim = lim = 0 , → → n n n n u v 存在 N > 0, 又因 2( ) 2 2 n n u + v 利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 都收敛, 证明级数 当n >N 时 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 ∑山n,∑yn满足1im4n=L,则有 n=1 n=l n→>oVn (1)当0<1<o时，两个级数同时收敛或发散； (2)当l=0且∑yn收敛时，∑4n也收敛； n=1 n=1 00 (3)当1=o且∑yn发散时，∑4n也发散. n=1 n=l 证：据极限定义，对&>0，存在N∈Z+,当n>N时， 0-1<8(1*0) OoO⊙@8
定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1-E)vn≤un≤(1+e)vn (n>N) 00 ()当0<1<时，取&<l,由定理2可知∑4n与∑yn n=1 n=1 同时收敛或同时发散； (2)当1=0时，利用un<(1+)yn(n>W),由定理2知 若∑yn收敛，则∑n也收敛； n=l n=1 3)当1=o时，存在N∈Z+,当n>N时，n>1,即 Un >Un 00 0 由定理2可知，若∑Vn发散，则∑4n也发散. n=] n=1
n n n (l − ) v u (l + ) v 由定理 2 可知 n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; ( n N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若 n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 n=1 n 若 v 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束