《数学分析》课程教学课件（讲稿）函数极限概念

lim f(α)=A的几何意义x->+80④有A-8<f(x)<A+8yA+&AA-6①任意给定8>0xxMa3使当x>M时②存在Ma后页返回前页

④有 A  f(x)  A lim ( ) x f x A   的几何意义 ③ 使当 x  M 时 x A A ①任意给定   0 M ②存在 M  a x A y O a

注数列可视为定义在正整数集上的函数，请大家比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点与不同点例1 证明limB=0x→+00 x证 任给&>0,取M=1,当x>M时,8f(x)-0 /=8,x所以(由定义1)lim=0.x→+0 x前页后页返回

注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家 所以(由定义1), 例1 证明 0. 1 lim  x x 证 任给  0, 取 , 1  M  当 x  M 时, , 1 ( )  0    x f x 0. 1 lim  x x 与不同点. 比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点

元例2证明lim arctanx2X→+0元元证 任给 6>0(ε<"),取 M = tan(--6)22因为arctanx严格增，当x>M时元元f(x)arctanx22<1-(F-6)=8.元这就是说 lim arctan x2X→+00返回前页后页

例2 . 2 lim arctan    x x 证明 证 任给 ), 2 0 (      ). 2 tan(   取 M   这就是说 π lim arctan . x 2 x   因为 arctan x 严格增，当 x  M 时， π π ( ) arctan 2 2 f x    x π π ( ) . 2 2      

定义2设f(x)定义在(-80,bl上,A是一个常数。若对于任意 ε>0,存在 M >0, 当x<-M(<b)时f(x)-A<8,则称f(x)当x→-0时以A为极限，记为lim f(x)= A 或 f(x)→A (x→-o0).X→返回前页后页

f (x)  A   , 定义2 设 f ( x)定义在  ,b 上, A是一个常数 . 若对于任意   0 , 存在 M  0, 当 x  M( b)时 则称 f (x)当 x   时以 A为极限, 记为 f x A x    lim ( ) 或 f (x)  A (x  )

定义3 设 f(x)定义在的某个邻域 U(o)内，A为一个常数.若对于任意 ε>0,存在M>0,当[x|>M时f(x)-A <8,则称f(x)当x→80时以A为极限，记为lim f(x)= A 或 f(x) → A (x→).后页返回前页

则称 f (x)当 x   时以 A 为极限，记为 f (x)  A   , 定义3 设 f ( x)定义在的某个邻域 U()内, A 为一个常数 . 若对于任意   0, 存在 M  0 ， 当 x  M 时 f x A x   lim ( ) 或 f (x)  A (x )