考研数学历年真题：1987-2016年考研数学一（各年题目）

都收敛(B)J都发散7(C)Zu,收敛,而u发散(D)u收敛,而发散二二n=1n=l[00[aai3ai1100ai2ai2ai300B:P1P-(5) 设 A=a21a22a23a21a22a230010La31aLas1a33ag2a32则必有(A)APP, = B(B)AP,P = B(C)PP,A=B(D)P,PA = B三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）(I)设u=f(x,y,=),p(x,e,=)=0,y=sinx,其中f,都具有一阶连续偏导数,且+0.求兴Oz*dx(2)设函数f(x) 在区间[0,1) 上连续,并设]f(x)dx= A, 求。dx[,(x)f(v)dy四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）(1)计算曲面积分[zdS,其中为锥面z=/x2+在柱体x?+y≤2x内的部分(2)将函数f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦函数五、（本题满分7分)设曲线L位于平面xOy的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记33为A.已知MA=OA，且L过点（),求L的方程2六、（本题满分8分）设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分[,2xydx+Q(x,y)dy与2xydx+Q(x, y)dy= Ja 2xydx+Q(x, y)dy,求Q(x,y)路径无关,并且对任意1恒有七、（本题满分8分）假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g"(x)±0, f(a)= f(b)= g(a)=g(b)=0, 试证:26

26 (A) 与 都收敛 (B) 与 都发散 (C) 收敛,而 发散 (D) 收敛,而 发散 (5) 设 则必有 (A) (B) (C) (D) 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) (1)设 其中 都具有一阶连续偏 导数, 且 求 (2)设函数 在区间 上连续,并设 求 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) (1)计算曲面积分 其中 为锥面 在柱体 内的部分. (2)将函数 展开成周期为 4 的余弦函数. 五、(本题满分 7 分) 设曲线 位于平面 的第一象限内 上任一点 处的切线与 轴总相交,交点记 为 已知 且 过点 求 的方程. 六、(本题满分 8 分) 设函数 在平面 上具有一阶连续偏导数,曲线积分 与 路径无关,并且对任意 恒有 求 七、（本题满分 8 分） 假设函数 和 在 上 存 在 二 阶 导 数 , 并 且 试证: 1 n n u  =  2 1 n n u  =  1 n n u  =  2 1 n n u  =  1 n n u  =  2 1 n n u  =  1 n n u  =  2 1 n n u  =  11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 1 2 31 32 33 31 32 33 0 1 0 1 0 0 , , 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 1 0 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a                 = = = =                         A B P P AP P = B 1 2 AP P = B 2 1 P P A = B 1 2 P P A = B 2 1 2 ( , , ), ( ,e , ) 0, sin , y u f x y z x z y x = = =  f , 0. z    . du dx f x( ) [0,1] 1 0 f x dx A ( ) , =  1 1 0 ( ) ( ) . x dx f x f y dy   zdS,   2 2 z x y = + 2 2 x y x +  2 f x x x ( ) 1(0 2) = −   L xOy , L M y A. MA OA = , L 3 3 ( , ), 2 2 L Q x y ( , ) xOy 2 ( , ) L xydx Q x y dy +  t ( ,1) (1, ) (0,0) (0,0) 2 ( , ) 2 ( , ) , t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy + = +   Q x y ( , ). f x( ) g x( ) [ , ] a b g x f a f b g a g b ( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) 0,  = = = =

(1)在开区间(a,b)内g(x)±0(2)在开区间(a,b)内至少存在一点5,使(）=(g()g"()八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为=-1==1，对应于的特征向量为[o]5=1,求A[]九、（本题满分6分）设A为n阶矩阵，满足AA'=I(I是n阶单位矩阵，A是A的转置矩阵),A<0,求[A +I.十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上）(1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X的数学期望E(X)=(2)设X和Y为两个随机变量,且4, P(X ≥0) = P(Y ≥0) =P(X ≥0,Y≥0) = 7则 Pmax(X,Y)≥0)=十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度为[e" x≥0fx(x)=x<0"10求随机变量Y=e*的概率密度f(y)27

27 (1)在开区间 内 (2)在开区间 内至少存在一点 使 八、（本题满分 7 分） 设三阶实对称矩阵 的特 征值 为 对应 于 的特征向量为 求 九、（本题满分 6 分） 设 为 阶矩阵,满足 是 阶单位矩阵 是 的转置矩阵 求 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为 0.4, 则 的数学期望 =_. (2)设 和 为两个随机变量,且 则 _. 十一、（本题满分 6 分） 设随机变量 的概率密度为 , 求随机变量 的概率密度 ( , ) a b g x( ) 0.  ( , ) a b , ( ) ( ) . ( ) ( ) f f g g      =  A 1 2 3    = − = = 1, 1, 1 1 0 1 , 1     =       ξ A. A n AA I I  = ( n , A A ), 0, A  A I + . X 2 X 2 E X( ) X Y 3 4 { 0, 0} , { 0} { 0} , 7 7 P X Y P X P Y   =  =  = P X Y {max( , ) 0}  = X ( ) X f x = e 0 − x 0 0 x x   e X Y = ( ). Y f y

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分把答案填在题中横线上）x+2a(1)设lim(=8,则a=x(2)设一平面经过原点及点(6,-3,2)，且与平面4x-y+2z=8垂直,则此平面方程为(3)微分方程y"-2y+2y=e的通解为(4)函数u=In(x+/2+2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数为0212(5)设A是4x3矩阵，且A的秩r(A)=2,而B=00则r(AB)-1 03二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(x+ ay)dx + ydy(1)已知为某函数的全微分,α则等于(x+y)(A)-1(B)0(C)1(D)2f"(x)=1,则(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f(0)=0,limx->0(A)f(O)是f(x)的极大值(B)(O)是(x)的极小值(C)(0,f(O))是曲线y=f(x)的拐点(D)f(O)不是f(x)的极值,(O,f(O))也不是曲线y=f(x)的拐点(3)设a, >0(n=1,2,…),且之a, 收敛,常数e(0,号),则级数之(-1)"(ntan V2r=l(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与 有关28

28 1996 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上) (1)设 则 =_. (2)设一平面经过原点及点 且与平面 垂直,则此平面方程为 _. (3)微分方程 的通解为_. (4)函数 在点 处沿点 指向点 方向的方向导 数为_. (5) 设 是 矩 阵 , 且 的 秩 而 则 =_. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)已知 为某函数的全微分, 则等于 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 (2)设 具有二阶连续导数,且 则 (A) 是 的极大值 (B) 是 的极小值 (C) 是曲线 的拐点 (D) 不是 的极值 也不是曲线 的拐点 (3)设 且 收敛,常数 则级数 (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)散敛性与 有关 2 lim( ) 8, x x x a → x a + = − a (6, 3, 2), − 4 2 8 x y z − + = 2 2 ex y y y   − + = 2 2 u x y z = + + ln( ) A(1,0,1) A B(3, 2, 2) − A 4 3 A r( ) 2, A = 1 0 2 0 2 0 , 1 0 3     =       − B r( ) AB 2 ( ) ( ) x ay dx ydy x y + + + a f x( ) 0 ( ) (0) 0,lim 1, x f x f → x   = = f (0) f x( ) f (0) f x( ) (0, (0)) f y f x = ( ) f (0) f x( ) ,(0, (0)) f y f x = ( ) 0( 1,2, ), n a n  = 1 n n a  =  (0, ), 2    2 1 ( 1) ( tan ) n n n n a n   =  − 

(4)设有 f(x)连续的导数,f(0)=0, f(0)0,F(x)=[(x2-t)f(t)dt, 且当x→0时,F(x)与x是同阶无穷小,则k等于(B)2(A)1(C)3(D)40a0b,00b2az的值等于(5)四阶行列式000a00b4a(A)aaaa-bb,b,b(B)a,a,a,a +b,b,b,b(C)(aa, -b,b,)(a,ay -b,b)(D)(a,a, -b,b,)(a,a -bb)三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）(1)求心形线r=aα(1+cos)的全长,其中a>0是常数(2)设x,=10,x1=/6+x,(n=1,2),试证数列(x,）极限存在,并求此极限四、（本题共2小题，每小题6分，满分12分）(1)计算曲面积分[[(2x+z)dydz+zdxdy,其中S为有向曲面z=x2+y(0≤x≤1),其s法向量与二轴正向的夹角为锐角a°zu=x-2y0z2+2_02=0简化为(2)设变换可把方程6=0,求常数a.ax2oyaxoyOuovy=x+ay五、（本题满分7分）1求级数之,一的和台(n?-1)2"六、（本题满分7分）设对任意x>0,曲线y=f(x）上点（x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于f(t)dt,求f(x)的一般表达式七、（本题满分8分）设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)≤a,f"(x)≤b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)内任意一点,证明|(c)≤2a+号2八，（本题满分6分）29

29 (4)设有 连续的导数 且当 时 与 是同阶无穷小,则 等于 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5)四阶行列式 的值等于 (A) (B) (C) (D) 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) (1)求心形线 的全长,其中 是常数. (2)设 试证数列 极限存在,并求此极限. 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) (1)计算曲面积分 其中 为有向曲面 其 法向量与 轴正向的夹角为锐角. (2)设变换 可把方程 简化为 求常数 五、(本题满分 7 分) 求级数 的和. 六、(本题满分 7 分) 设对任意 曲 线 上 点 处的切线在 轴上的截距等于 求 的一般表达式. 七、（本题满分 8 分） 设 在 上具有二阶导数,且满足条件 其中 都是非负 常数 是 内任意一点.证明 八、（本题满分 6 分） f x( ) 2 2 0 , (0) 0, (0) 0, ( ) ( ) ( ) , x f f F x x t f t dt =  = −   x →0 , ( ) F x  k x k 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 a b a b a b b a 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a b b b b − 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a b b b b + 1 2 1 2 3 4 3 4 ( )( ) a a b b a a b b − − 2 3 2 3 1 4 1 4 ( )( ) a a b b a a b b − − r a = + (1 cos )  a  0 1 1 10, 6 ( 1,2, ), n n x x x n = = + = + { }n x (2 ) , S x z dydz zdxdy + +  S 2 2 z x y x = +   (0 1), z u x y 2 v x ay = − = + 2 2 2 2 2 6 0 z z z x x y y    + − =     2 0, z u v  =   a. 2 1 1 ( 1)2n n n  = −  x  0, y f x = ( ) ( , ( )) x f x y 0 1 ( ) , x f t dt x  f x( ) f x( ) [0,1] f x a f x b ( ) , ( ) ,    ab, ,c (0,1) ( ) 2 . 2 b f c a   +

设A=I-，其中I是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，是的转置证明(1)A?=A的充分条件是=1.(2)当=1时，A是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型f(x，x2,x）=5x+5x+cx-2xxz+6xg-6xx的秩为2,(1)求参数C及此二次型对应矩阵的特征值(2)指出方程f(x,x,）=1表示何种二次曲面十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分把答案填在题中横线上）1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是(2)设,n是两个相互独立且均服从正态分布N(O,()）的随机变量,则随机变量V2-n的数学期望E(5-n)=十一、（本题满分6分）设5,n是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布率为1P(5 =i)=-,i=1,2,3.3又设X =max(s,n),Y =min(,n)(1)写出二维随机变量的分布率：X123YI23(2)求随机变量X的数学期望E(X)30

30 设 其中 是 阶单位矩阵 是 维非零列向量 是 的转置.证明 (1) 的充分条件是 (2)当 时 是不可逆矩阵. 九、（本题满分 8 分） 已知二次型 的秩为 2, (1)求参数 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程 表示何种二次曲面. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设工厂 和工厂 的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由 和 的产品分别占 60% 和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属 生产的概率是_. (2)设 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量,则随机变量 的数学期望 =_. 十一、（本题满分 6 分） 设 是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已 知 的 分 布 率 为 又设 (1)写出二维随机变量的分布率: 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量 的数学期望 , T A = −I ξξ I n ,ξ n , T ξ ξ 2 A A= 1. T ξ ξ = 1 T ξ ξ = , A 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x cx x x x x x x ( , , ) 5 5 2 6 6 = + + − + − c 1 2 3 f x x x ( , , ) 1 = A B A B A , 1 2 (0,( ) ) 2 N  − E( )  − ,  1 ( ) , 1, 2,3. 3 P i i  = = = X Y = = max( , ), min( , ).     X Y X E X( )