《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differential Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论33，实践12）课程学分：2学分修读学期：第5学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：
《微分几何》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：微分几何 Differential Geometry 课程代码：06S1022B 课程类别：专业选修课 适用专业：数学与应用数学专业（师范类） 课程学时：45学时（理论33，实践12） 课程学分：2学分 修读学期：第5学期 先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程 二、课程目标 微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间 的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现 代微分几何开始研究更一般的空间——流形。微分几何与拓扑学等其它数学分支 有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分 几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等 代数、数学分析和常微分方程。 本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象 、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握 重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析 几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的 曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的 局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标：
1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、712.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念；综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。【支撑毕业要求3、4】3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。对曲面的几何有一定的认识，具有一定的计算能力和分析问题、解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。3.学科素养4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新课程目标14.教学能力发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。7.学会反思7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解决数学教育教学中的问题。3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。3.学科素养3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认课程目标24.教学能力同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养，4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。3.学科素养3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、课程目标34.教学能力思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理7.学会反思的认识
1. 了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理 解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具 有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。【支撑毕业要 求3、4、7】 2. 掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法 平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部 结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念；综合运用微积分、解析几 何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。【支撑毕业要求3、4】 3. 掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用， 理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和 计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测 地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。对曲面的几何有一定的认识，具 有一定的计算能力和分析问题、解决问题的能力。【支撑毕业要求3、4、7】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 3.3【专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象等数学学科专业能力。 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新 发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。 7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分 析和解决数学教育教学中的问题。 课程目标 2 3.学科素养 4.教学能力 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、 思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理 的认识。 3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认 同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新 发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。 课程目标 3 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 3.1【知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、 思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理 的认识
3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值，了解新技术，具备一定的信息化素养。4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解决数学教育教学中的问题。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排18第一章曲线论课堂讲授、翻转课堂课程目标1、2第二章曲面论27课堂讲授、翻转课堂课程目标1、3合计45 学时（二）具体内容第一章曲线论（18学时）【教学目标与要求】1、教学目标：1）引入向量函数的定义，并使学生掌握向量分析的有关概念，为曲线论和曲面论的展开打下基础。2）引入参数曲线，切向量，切线，正则参数曲线，参数变换的有关概念，使学生掌握正则曲线能选取弧长作为参数，体会参数是弧长参数的便利。3）具体了解刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量，以及找出决定空间曲线在一点邻近形状的的条件4）使学生了解相关的数学史和应用价值，激发学生的求知欲和探索精神，提高学生的专业素养。2、教学要求：
3.2【学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认 同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 4.3【教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科的新 发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。 7.3【勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分 析和解决数学教育教学中的问题。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第一章 曲线论 课堂讲授、翻转课堂 课程目标 1、2 18 第二章 曲面论 课堂讲授、翻转课堂 课程目标 1、3 27 合计 45 学时 （二）具体内容 第一章 曲线论（18 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 1) 引入向量函数的定义，并使学生掌握向量分析的有关概念，为曲线论和 曲面论的展开打下基础。 2) 引入参数曲线，切向量，切线，正则参数曲线，参数变换的有关概念， 使学生掌握正则曲线能选取弧长作为参数，体会参数是弧长参数的便利。 3) 具体了解刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量，以 及找出决定空间曲线在一点邻近形状的的条件。 4) 使学生了解相关的数学史和应用价值，激发学生的求知欲和探索精神， 提高学生的专业素养。 2、教学要求：
1）正确理解向量的概念，熟练掌握向量代数的运算。理解向量函数、向量函数的极限、连续、微商、泰勒公式、积分的概念，熟练掌握向量函数的运算。了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。2）理解曲线、光滑曲线、曲线的正则点、切线和法平面、弧长、自然参数的概念，熟练掌握曲线的切线和法平面、曲线的弧长、曲线的自然参数的运算。3）正确理解空间曲线的密切平面、基本三棱形、空间曲线的曲率、挠率的概念，熟练掌握空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲率、挠率的运算，熟记伏雷内公式并能灵活运用。了解空间曲线在一点邻近的结构和空间曲线论的基本定理。了解一般螺线的概念和运算。【教学重点与难点】1、教学重点：1）向量函数的运算。2）曲线的切线、法平面、弧长的计算。3）空间曲线的基本三棱形、曲率、挠率的计算，伏雷内（Frenet）公式及其应用。2、教学难点：1）向量函数的运算与相应数学分析内容的区别与联系。2）曲线的参数方程，自然参数概念的理解。3）曲线的局部结构及曲线论的基本定理。【教学内容】1.1向量函数1.1.1向量函数的极限1.1.2向量函数的连续性1.1.3向量函数的微商1.1.4向量函数的泰勒（Taylor）公式1.1.5向量函数的积分1.2曲线的概念1.2.1曲线的概念1.2.2光滑曲线曲线的正常点1.2.3曲线的切线和法面
1) 正确理解向量的概念，熟练掌握向量代数的运算。理解向量函数、向量 函数的极限、连续、微商、泰勒公式、积分的概念，熟练掌握向量函数的运算。 了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。 2) 理解曲线、光滑曲线、曲线的正则点、切线和法平面、弧长、自然参数 的概念，熟练掌握曲线的切线和法平面、曲线的弧长、曲线的自然参数的运算。 3) 正确理解空间曲线的密切平面、基本三棱形、空间曲线的曲率、挠率的 概念，熟练掌握空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲率、挠率的运算，熟记伏 雷内公式并能灵活运用。了解空间曲线在一点邻近的结构和空间曲线论的基本定 理。了解一般螺线的概念和运算。 【教学重点与难点】 1、教学重点： 1) 向量函数的运算。 2) 曲线的切线、法平面、弧长的计算。 3) 空间曲线的基本三棱形、曲率、挠率的计算，伏雷内（Frenet）公式及其 应用。 2、教学难点： 1) 向量函数的运算与相应数学分析内容的区别与联系。 2) 曲线的参数方程，自然参数概念的理解。 3) 曲线的局部结构及曲线论的基本定理。 【教学内容】 1.1 向量函数 1.1.1 向量函数的极限 1.1.2 向量函数的连续性 1.1.3 向量函数的微商 1.1.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式 1.1.5 向量函数的积分 1.2 曲线的概念 1.2.1 曲线的概念 1.2.2 光滑曲线 曲线的正常点 1.2.3 曲线的切线和法面
1.2.4曲线的弧长自然参数1.3空间曲线1.3.1空间曲线的密切平面1.3.2空间曲线的基本三棱形1.3.3空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式1.3.4空间曲线在一点邻近的结构1.3.5空间曲线论的基本定理1.3.6一般螺线【思政元素融入点】结合几何学发展史教育学生要有探索精神和科学态度，使学生更好地体会数学思想方法的产生过程。通过介绍相关数学家的背景材料，提高学生的数学专业素养，使学生树立正确的数学价值观。第二章曲面论（27学时）【教学目标与要求】1、教学目标：1）理解正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。2）理解曲面各种不同的描述形式，充分体会曲面的第一基本形式是刻画曲面的内蕴性质的。3）使学生具体理解第二基本形式的在研究曲面在空间中的弯曲性时所发挥的作用。4）了解曲面论的基本定理，理解测地线在曲面研究中的重要意义。5）使学生了解相关内容的发展背景，增加专业素养，培养学生的探索精神以及分析问题和解决问题的能力。2、教学要求：1）理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。2）理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题
1.2.4 曲线的弧长 自然参数 1.3 空间曲线 1.3.1 空间曲线的密切平面 1.3.2 空间曲线的基本三棱形 1.3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式 1.3.4 空间曲线在一点邻近的结构 1.3.5 空间曲线论的基本定理 1.3.6 一般螺线 【思政元素融入点】 结合几何学发展史教育学生要有探索精神和科学态度，使学生更好地体会数 学思想方法的产生过程。通过介绍相关数学家的背景材料，提高学生的数学专业 素养，使学生树立正确的数学价值观。 第二章 曲面论（27 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 1) 理解正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法向量等概念，为进一步 学习曲面论作好铺垫。 2) 理解曲面各种不同的描述形式，充分体会曲面的第一基本形式是刻画曲 面的内蕴性质的。 3) 使学生具体理解第二基本形式的在研究曲面在空间中的弯曲性时所发挥 的作用。 4) 了解曲面论的基本定理，理解测地线在曲面研究中的重要意义。 5) 使学生了解相关内容的发展背景，增加专业素养，培养学生的探索精神 以及分析问题和解决问题的能力。 2、教学要求： 1) 理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法 线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。 2) 理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面 积和曲面间的等距及保角变换等有关问题