《复变函数论》教学大纲一、课程基本信息课程编码：0601112B中文名称：复变函数论英文名称：TheoryofFunctionsofComplexVariable课程类别：专业基础及核心课总学时：48总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何二、课程目标（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解复变函数的发展历史，遵循周易中的复卦的复。【支撑毕业要求1】2.理解复数的表示方法。【支撑毕业要求2】3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。【支撑毕业要求3】4.掌握留数的计算和应用。【支撑毕业要求5】5.能够应用复变函数方法解决实际问题，理解不同学科间的联系与渗透。【支撑毕业要求3、416.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和解决实际问题的能力。【支撑毕业要求4、6、7、8】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求指标点的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点1-1以立德树人为根本，以教书育人为己任。遵守中学教师职业道德规范，具有依法执教意识，立志成为有理想信念、有道德情操、有扎实学识、有仁爱之心的好老师。课程目标11.师德规范1-2认可和接受当前教师的经济和社会地位，自觉维护职前教师群体的身份，以立德树人为己任，给学生传递正能量。1-3遵守教师职业道德，依规依法执教，以“四有”好老师的标准严格要求自我。2-1具有良好的科学素养和深厚的人文底蕴。尊重学生人格，课程目标22.教育情怀富有爱心、责任心和事业心，工作细心、耐心，做学生锤炼品格、学习知识、创新思维、奉献祖国的引路人
《复变函数论》教学大纲 一、课程基本信息 课程编码：0601112B 中文名称：复变函数论 英文名称：Theory of Functions of Complex Variable 课程类别：专业基础及核心课 总 学 时：48 总 学 分：3 适用专业：数学与应用数学 先修课程：数学分析，高等代数，解析几何 二、课程目标 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1.了解复变函数的发展历史，遵循周易中的复卦的复。【支撑毕业要求 1】 2.理解复数的表示方法。【支撑毕业要求 2】 3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。【支撑毕业要求 3】 4.掌握留数的计算和应用。【支撑毕业要求 5】 5.能够应用复变函数方法解决实际问题，理解不同学科间的联系与渗透。【支撑 毕业要求 3、4】 6.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和 解决实际问题的能力。【支撑毕业要求 4、6、7、8】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表 1 课程目标与毕业要求指标点的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 1.师德规范 1-1 以立德树 人为根本，以教书育人为己任。遵守中学教师职 业道德规范，具有依法执教意识， 立志成为有理想信念、有道 德情操、有扎实学识、有仁爱之心的好老师。 1-2 认可和接受当前教师的经济和社会地位，自觉维护 职前教 师群体的身份，以立德树人为己任，给学生传递正能量。 1-3 遵守教师职业道德，依规依法执教，以“四有”好老师的 标准严格要求自我。 课程目标 2 2.教育情怀 2-1 具有良好的科学素养和深厚的人文 底蕴。尊重学生人格， 富有爱心、责任心和事业心，工作细心、耐心，做学生锤 炼品 格、学习知识、创新思维、奉献祖国的引路人
2-2经常阅读与学习，广泛涉猎人文、科学书籍，丰富自身文化修养，具有科学精神。2-4尊重学生，有爱心、耐心、责任心和事业心，潜心教书育人，做学生成长引路人。3-1具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空间抽象、逻辑思维和计算能力，熟悉中学各年级教材的地位、作用、内容、结构及内在联系。课程目标33.学科素养3-2了解数学学科与物理、计算机等学科以及现实生活实践的联系。3-3理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学学习指导方法与策略。5.1具有以人为本、德育为先的育人理念，了解中学德育原理课程目标45.班级指导与方法。3-3理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的数学学习指导方法与策略。3. 学科素养4-1掌握中学数学课程标准的内和要点，了解中学生数学认课程目标54.教学能力知特点和数学学习规律。4-4了解数学教学研究的基本思想和基本方法，具有一定的教学研究能力。4-3能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用数学学科知识、信息技术，进行教学设计，有效实施、分析、评价和改进课堂教学。6-1了解中学生身心发展和养成教育规律，掌握课程育人，文化育人、活动育人、管理育人的内及方法。4.教学能力6.综合育人7-1具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和课程目标67.学会反思适应发展的能力。8.沟通合作7-3掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解决数学教育教学中的问题。8-1具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐于分享经验和想法。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系教学方法课程内容支撑的课程目标学时安排10第一章复变函数的基本概念学生自学、课堂讲投课程目标1、2、3、69第二章复积分课堂讲授、专题研讨课程目标3、5、68第三章复级数理论课堂讲授、学生自学课程目标3、5、69第四章留数理论课堂讲投、讨论研讨课程目标3、4、68第五章共性映射理论课堂讲授、图形变换课程目标3、5、6
2-2 经常阅读与学习，广泛涉猎人文、科学书籍，丰富自身文 化修养，具有科学精神。 2-4 尊重学生，有爱心、耐心、责任心和事业心，潜心教书育 人， 做学生成长引路人。 课程目标 3 3.学科素养 3-1 具有丰富的数学专业知识和专业核心素养，具有较强的空 间抽象、逻辑思维和计算能力，熟悉中学各年级教材的地位、 作用、内容、结构及内在联系。 3-2 了解数学学科与物理、计算机等学科以及现实生活实践的 联系。 3-3 理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的 数学学习指导方法与策略。 课程目标 4 5.班级指导 5.1 具有以人为本、 德育为先的育人理念，了解中学德育原理 与方法。 课程目标 5 3.学科素养 4.教学能力 3-3 理解和掌握数学核心素养的内涵，掌握以此为目标导向的 数学学习指导方法与策略。 4-1 掌握中学数学课程标准的内涵和要点，了解中学生数学认 知特点和数学学习规律。 4-4 了解数学教学研究的基本思想和基本方法，具有一定的教 学研究能力。 课程目标 6 4.教学能力 6.综合育人 7.学会反思 8.沟通合作 4-3 能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用数学 学科知识、信息技术，进行教学设计，有效实施、分析、评价 和改进课堂教学。 6-1 了解中学生身心发展和养成教育规律，掌握课程育人、文 化育人、活动育人、管理育人的内涵及方法。 7-1 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和 适应发展的能力。 7-3 掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方法分析和解 决数学教育教学中的问题。 8-1 具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小 组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐 于分享经验和想法。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表 2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第一章 复变函数的基本概念 学生自学、课堂讲授 课程目标 1、2、3、6 10 第二章 复积分 课堂讲授、专题研讨 课程目标 3、5、6 9 第三章 复级数理论 课堂讲授、学生自学 课程目标 3、5、6 8 第四章 留数理论 课堂讲授、讨论研讨 课程目标 3、4、6 9 第五章 共性映射理论 课堂讲授、图形变换 课程目标 3、5、6 8
课堂讲投、理论推演第六章解析延拓4课程目标3合计48学时（二）具体内容第一章复变函数的基本概念（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：了解复变函数的发展历史，理解“复”的含义。会用复数的6种表示方法互相变换，会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。会应用复数乘除的儿何意义证明一些儿何问题。会计算复数列的极限。掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限。掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。2、教学要求：理解复数的相关基本概念，掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。理解复数的几何表示和几何意义，掌握复数乘法除法的几何意义，了解复数幂和开方的几何意义。理解复数极限的定义，掌握复数列极限的充要条件，理解复变函数的定义，理解复变函数定义域和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，理解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。掌握初等函数连续性。理解复函数导数的定义，掌握复函数实部和虚部的导数定义，掌握导数的四则运算，掌握导数的复合函数运算，理解导数的反函数运算，理解初等函数的可导性，理解复变函数微分的定义，理解复变函数的可导、微分和连续的关系，理解复变函数导数和实二元函数导数的关系。熟悉指数函数、三角函数与双曲函数的基本性质以及和实函数的区别，理解三类基本初等函数的映照性质。深刻理解解析函数定义，会用解析函数的条件判断函数的解析性。了解初等多值函数。能将初等多值函数分解为若干个单值函数。掌握对数函数的计算和反三角函数的计算。【教学重点与难点】1、教学重点：复变函数的发展历史，复数的6种表示方法，代数形式的四则运算，三角形式的乘除运算和幂运算，开方运算。复数列极限的充要条件，复数列极限的计算，计算复变函数的极限。复变函数连续的充要条件，初等函数
第六章 解析延拓 课堂讲授、理论推演 课程目标 3 4 合计 48 学时 （二）具体内容 第一章 复变函数的基本概念(10 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 了解复变函数的发展历史，理解“复”的含义。会用复数的 6 种表示方法 互相变换，会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。会应用 复数乘除的几何意义证明一些几何问题。会计算复数列的极限。掌握复变函数极 限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限。掌握柯西黎曼方程，理 解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。 2、教学要求： 理解复数的相关基本概念，掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘 除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。理解复数的几何表示和几何意义， 掌握复数乘法除法的几何意义，了解复数幂和开方的几何意义。理解复数极限的 定义，掌握复数列极限的充要条件，理解复变函数的定义，理解复变函数定义域 和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，理 解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。掌 握初等函数连续性。理解复函数导数的定义，掌握复函数实部和虚部的导数定义， 掌握导数的四则运算，掌握导数的复合函数运算，理解导数的反函数运算，理解 初等函数的可导性，理解复变函数微分的定义，理解复变函数的可导、微分和连 续的关系，理解复变函数导数和实二元函数导数的关系。熟悉指数函数、三角函 数与双曲函数的基本性质以及和实函数的区别，理解三类基本初等函数的映照性 质。深刻理解解析函数定义，会用解析函数的条件判断函数的解析性。了解初等 多值函数。能将初等多值函数分解为若干个单值函数。掌握对数函数的计算和反 三角函数的计算。 【教学重点与难点】 1、教学重点：复变函数的发展历史，复数的 6 种表示方法，代数形式的 四则运算，三角形式的乘除运算和幂运算，开方运算。复数列极限的充要条件， 复数列极限的计算，计算复变函数的极限。复变函数连续的充要条件，初等函数
连续性。复函数的微分，复函数可微分的条件。初等解析函数，解析函数2、教学难点：复数的坐标表示和向量表示的运算，复数几何意义，复数乘除幂和开方的几何意义。复数列极限的定义，复变函数的分类，复变函数的极限，复变函数极限与实二元函数二重极限关系，连续性的定义，复变函数连续的性质。复函数可微分的条件。初等多值函数。【教学内容】1.1复数及其运算1.2复变函数的极限与连续1.3复变函数的导数与微分1.4解析函数【思政元素融入点】了解课程内容涉及到的数学家，缅怀已故的复变函数专家学者们，学习他们给我们开创的新的丰饶的数学领地，介绍复变函数发展的历史进程，讲解复变函数的国内外发展现状，将周易理论的复卦引入课堂教学，说明复的意义和哲理，激发学习兴趣。同时将复变函数的应用领域用图形和表格方法展示出来，说明复变函数论是数学学科中最实用的分支之一。第二章复积分（9学时）【教学目标与要求】1、教学目标：灵活运用复函数积分的基本性质，理解复变函数的估值性质。熟练掌握柯西积分定理，并能灵活应用，掌握柯西积分定理的推广形式，掌握不定积分和原函数的性质。会求拉普拉斯方程的复变函数解法。了解复数边界积分方程的一般理论。会用解析函数实部和虚部表示向量函数，会用解析函数表示静电场中的电场线和等势线。2、教学要求：理解并掌握复变函数积分的概念，掌握复变函数和实二元函数在曲线上积分的关系。熟练掌握复变函数的积分计算并能灵活应用各种方法。灵活运用柯西积分公式，深刻理解解析函数的无穷可微性，掌握柯西不等式与刘维尔定理，掌握代数学基本定理，掌握摩勒拉定理。理解并掌握调和函数的定义和性质，了解调和函数的应用。理解并掌握拉普拉斯方程定义，了解拉普拉斯方程的应用。理
连续性。复函数的微分，复函数可微分的条件。初等解析函数，解析函数. 2、教学难点：复数的坐标表示和向量表示的运算，复数几何意义，复数 乘除幂和开方的几何意义。复数列极限的定义，复变函数的分类，复变函数的极 限，复变函数极限与实二元函数二重极限关系，连续性的定义，复变函数连续的 性质。复函数可微分的条件。初等多值函数。 【教学内容】 1.1 复数及其运算 1.2 复变函数的极限与连续 1.3 复变函数的导数与微分 1.4 解析函数 【思政元素融入点】 了解课程内容涉及到的数学家，缅怀已故的复变函数专家学者们，学习他 们给我们开创的新的丰饶的数学领地，介绍复变函数发展的历史进程，讲解复变 函数的国内外发展现状，将周易理论的复卦引入课堂教学，说明复的意义和哲理， 激发学习兴趣。同时将复变函数的应用领域用图形和表格方法展示出来，说明复 变函数论是数学学科中最实用的分支之一。 第二章 复积分(9 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 灵活运用复函数积分的基本性质，理解复变函数的估值性质。熟练掌握柯 西积分定理，并能灵活应用，掌握柯西积分定理的推广形式，掌握不定积分和原 函数的性质。会求拉普拉斯方程的复变函数解法。了解复数边界积分方程的一般 理论。会用解析函数实部和虚部表示向量函数，会用解析函数表示静电场中的电 场线和等势线。 2、教学要求： 理解并掌握复变函数积分的概念，掌握复变函数和实二元函数在曲线上积 分的关系。熟练掌握复变函数的积分计算并能灵活应用各种方法。灵活运用柯西 积分公式，深刻理解解析函数的无穷可微性，掌握柯西不等式与刘维尔定理，掌 握代数学基本定理，掌握摩勒拉定理。理解并掌握调和函数的定义和性质，了解 调和函数的应用。理解并掌握拉普拉斯方程定义，了解拉普拉斯方程的应用。理
解并掌握复势的定义，熟悉平面向量场的解析函数表示法。熟练掌握流体中各种场的解析函数表示。理解并掌握电场中的复势理论。【教学重点与难点】1、教学重点：复变函数积分的计算，复变函数积分的性质。柯西积分定理，柯西积分公式及其推论。调和函数的概念及其性质，调和函数与解析函数的关系。复变函数表示复势。2、教学难点：复变函数积分的概念。柯西积分定理的推广。柯西不等式与刘维尔定理、代数学基本定理，摩勒拉定理。拉普拉斯方程的解答，复数边界积分方程。流体中的复势应用，静电场中的复势应用。【教学内容】2.1复积分的定义2.2柯西积分定理与柯西积分公式2.3解析函数和调和函数关系2.4复势理论及其应用【思政元素融入点】学习复积分知识，掌握封闭曲线上积分的计算方法，理解各个数学学科之间的相互联系，解析函数和调和函数的关系及其应用，让学生掌握普遍联系的思想和实践是学习最终目的的思想，课堂上结合实例让学生知道实践认识实践的过程，大道至简的哲学思想，任何事物的认识都从简单到复杂，然后再从复杂到简单的过程，只有复杂的理论，不能回归到简单是无用的复杂。第三章复级数理论（8学时）【教学目标与要求】1、教学目标：掌握复数项级数绝对收敛和条件收敛，掌握复数项级数收敛的性质，会计算复数项级数的求和，掌握复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别法，理解内闭一致收敛定义。掌握解析函数的泰勒展式，会求初等函数的泰勒展式。明确解析函数零点的孤立性，会判断解析函数零点的阶数，会证明解析函数恒为零的命题，会用反证法和最大模原理证明复变函数命题。会求解析函数的洛朗展式。切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质。会判断无穷远点孤立奇点类型
解并掌握复势的定义，熟悉平面向量场的解析函数表示法。熟练掌握流体中各种 场的解析函数表示。理解并掌握电场中的复势理论。 【教学重点与难点】 1、教学重点：复变函数积分的计算，复变函数积分的性质。柯西积分定 理，柯西积分公式及其推论。调和函数的概念及其性质，调和函数与解析函数的 关系。复变函数表示复势。 2、教学难点：复变函数积分的概念。柯西积分定理的推广。柯西不等式 与刘维尔定理、代数学基本定理，摩勒拉定理。拉普拉斯方程的解答，复数边界 积分方程。流体中的复势应用，静电场中的复势应用。 【教学内容】 2.1 复积分的定义 2.2 柯西积分定理与柯西积分公式 2.3 解析函数和调和函数关系 2.4 复势理论及其应用 【思政元素融入点】 学习复积分知识，掌握封闭曲线上积分的计算方法，理解各个数学学科之 间的相互联系，解析函数和调和函数的关系及其应用，让学生掌握普遍联系的思 想和实践是学习最终目的的思想，课堂上结合实例让学生知道实践认识实践的过 程，大道至简的哲学思想，任何事物的认识都从简单到复杂，然后再从复杂到简 单的过程，只有复杂的理论，不能回归到简单是无用的复杂。 第三章 复级数理论(8 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 掌握复数项级数绝对收敛和条件收敛，掌握复数项级数收敛的性质，会计 算复数项级数的求和，掌握复函数项级数一致收敛的柯西收敛准准和优级数判别 法，理解内闭一致收敛定义。掌握解析函数的泰勒展式，会求初等函数的泰勒展 式。明确解析函数零点的孤立性，会判断解析函数零点的阶数，会证明解析函数 恒为零的命题，会用反证法和最大模原理证明复变函数命题。会求解析函数的洛 朗展式。切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质。会判断无穷远点孤 立奇点类型