《实变函数论》课程教学大纲一、课程信息课程名称：实变函数论Real Variable Functions课程代码：06S1112B课程类别：专业核心课程/必修课适用专业：数学与应用数学课程学时：48学时课程学分：3学分修读学期：第5学期先修课程：数学分析、复变函数论二、课程目标实变函数论是数学与应用数学专业重要的核心课程之一，是数学分析的后续课程。该课程理论性较强，非常抽象，其内容是学生进一步学习其他分析数学分支和科学研究必不可少的基础知识。通过本课程的学习，使学生进一步加深对数学分析中的概念、定理等内容的理解，使学生较好地掌握测度和积分这两个基本的分析工具，特别是极限与积分顺序的交换，并在一定程度上掌握集合论的分析方法。通过本课程的学习，培养和提高学生严格的数学思维和论证能力，提高学生的数学能力，为后继课程学习提供必要的基础。实变函数论主要包括集合论，点集理论，测度理论，可测函数、勒贝格积分理论五部分。本课程在第五学期开设。（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.正确理解和掌握实变函数论中的基本概念、基本理论和基本方法，获得进一步学习其他课程的知识基础，为以后进行数学教学与研究打下坚实的基础。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3】1
1 《实变函数论》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：实变函数论 Real Variable Functions 课程代码：06S1112B 课程类别：专业核心课程/必修课 适用专业：数学与应用数学 课程学时：48 学时 课程学分：3学分 修读学期：第5学期 先修课程：数学分析、复变函数论 二、课程目标 实变函数论是数学与应用数学专业重要的核心课程之一，是数学分析的后续 课程。该课程理论性较强，非常抽象，其内容是学生进一步学习其他分析数学分 支和科学研究必不可少的基础知识。通过本课程的学习，使学生进一步加深对数 学分析中的概念、定理等内容的理解，使学生较好地掌握测度和积分这两个基本 的分析工具，特别是极限与积分顺序的交换，并在一定程度上掌握集合论的分析 方法。通过本课程的学习，培养和提高学生严格的数学思维和论证能力，提高学 生的数学能力，为后继课程学习提供必要的基础。 实变函数论主要包括集合论，点集理论，测度理论，可测函数、勒贝格积分 理论五部分。 本课程在第五学期开设。 （一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 正确理解和掌握实变函数论中的基本概念、基本理论和基本方法，获得 进一步学习其他课程的知识基础，为以后进行数学教学与研究打下坚实的基础。 【支撑毕业要求指标点 3.1、3.3】
2.树立集合思想，熟练运用集合运算来表达实际问题中出现的集合；培养与提高学生的逻辑推理能力与抽象概括能力，以及发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力：提高数学表达和数学交流能力；具有自主学习、终身学习、团队协作的能力。【支撑毕业要求指标点3.1、3.2、3.3、7.1、8.1】3.掌握实变函数论的思想方法，特别是建立勒贝格测度与勒贝格积分的步骤与思路，进而感受构造新的数学对象的创造性思维过程；理解通过一一映射引入集合基数，进而比较两个无穷集合元素多少的数学思想，完善认识世界的方法论；构建学习共同体。【支撑毕业要求指标点3.3、7.1、8.3】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点【3.1知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的课程目标1认识。3.学科素养【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力【3.1知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。【3.2学科融合】了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。3.学科素养【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观课程目标 27.学会反思想象等数学学科专业能力。8.沟通合作【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。【8.1团结协作】具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动参与小组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐于分享经验和想法。【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学科专业能力。3.学科素养【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断课程目标37.学会反思学习和适应发展的能力。8.沟通合作【8.3学习共同体】理解学习共同体的建设在中学数学学习中的重要性，能够帮助中学生理解并构建一个积极向上的学习共同体。2
2 2. 树立集合思想，熟练运用集合运算来表达实际问题中出现的集合；培养 与提高学生的逻辑推理能力与抽象概括能力，以及发现问题、提出问题、分析 问题与解决问题的能力；提高数学表达和数学交流能力；具有自主学习、终身 学习、团队协作的能力。【支撑毕业要求指标点 3.1、3.2、3.3、7.1、8.1】 3. 掌握实变函数论的思想方法，特别是建立勒贝格测度与勒贝格积分的步 骤与思路，进而感受构造新的数学对象的创造性思维过程；理解通过一一映射 引入集合基数，进而比较两个无穷集合元素多少的数学思想，完善认识世界的 方法论；构建学习共同体。【支撑毕业要求指标点 3.3、7.1、8.3】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3.学科素养 【3.1 知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、 思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的 认识。 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象等数学学科专业能力。 课程目标 2 3.学科素养 7.学会反思 8.沟通合作 【3.1 知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握主要理论、 思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的 认识。 【3.2 学科融合】 了解数学学科与其他学科以及社会实践的联系，认 同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化素养。 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象等数学学科专业能力。 【7.1 学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断 学习和适应发展的能力。 【8.1 团结协作】 具有团队协作精神，掌握沟通合作技能，积极主动 参与小组学习、专题研讨、团队互动、网络分享等协作学习活动，乐 于分享经验和想法。 课程目标 3 3.学科素养 7.学会反思 8.沟通合作 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象等数学学科专业能力。 【7.1 学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断 学习和适应发展的能力。 【8.3 学习共同体】理解学习共同体的建设在中学数学学习中的重要 性，能够帮助中学生理解并构建一个积极向上的学习共同体
三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系教学方法学时安排课程内容支撑的课程目标8第一章集合论基础课堂讲授、启发式教学课程目标1、28第二章R"中的点集理论课堂讲授、启发式教学课程目标1、210第三章测度理论课堂讲投、启发式教学课程目标1、2、310第四章可测函数课堂讲授、研讨式教学课程目标1、2、312第五章勒贝格积分课堂讲授、启发式教学课程目标1、2、3、合计48学时（二）具体内容第一章集合论基础（8学时)【教学目标与要求】1、教学目标：通过复习集合的相关概念及运算，引入上限集和下限集及单调集列。理解对等与基数的定义，从而掌握可数集的相关结论，通过学习本章内容，使得学生能灵活应用集合的概念解决无限集合的相关结论，熟练掌握从有限集到无限集的推广，树立集合思想，熟练运用集合运算来表达实际问题中出现的集合。2、教学要求：1）理解集合论的基本概念：集合、映射、对等、有限集与无限集、基数、可数集、具有连续基数的集等。2）掌握集合的运算与性质，熟悉上、下限集并交表达式。【教学重点与难点】1、教学重点：集合基本概念和集合的基数，可数集，不可数集。3
3 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表 2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第一章 集合论基础 课堂讲授、启发式教学 课程目标 1、2 8 第二章 n R 中的点集理论 课堂讲授、启发式教学 课程目标 1、2 8 第三章 测度理论 课堂讲授、启发式教学 课程目标 1、2、3 10 第四章 可测函数 课堂讲授、研讨式教学 课程目标 1,、2、3 10 第五章 勒贝格积分 课堂讲授、启发式教学 课程目标 1、2、3、 12 合计 48 学时 （二）具体内容 第一章 集合论基础（8 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 通过复习集合的相关概念及运算，引入上限集和下限集及单调集列。理 解对等与基数的定义，从而掌握可数集的相关结论，通过学习本章内容，使 得学生能灵活应用集合的概念解决无限集合的相关结论，熟练掌握从有限集 到无限集的推广，树立集合思想，熟练运用集合运算来表达实际问题中出现 的集合。 2、教学要求： 1) 理解集合论的基本概念：集合、映射、对等、有限集与无限集、基数、 可数集、具有连续基数的集等。 2) 掌握集合的运算与性质，熟悉上、下限集并交表达式。 【教学重点与难点】 1、教学重点：集合基本概念和集合的基数，可数集，不可数集
2、教学难点：可数基数与连续基数，将一些分析问题转化为用上限集和下限集示，判断集合对等的基本技能。【教学内容】1.1集合及其运算集合概念、表示与运算（交、并、差、余、上极限、下极限与极限）。1.2集合的基数映射、单射、满射、基数的概念、特殊集合的基数及有关结论。1.3可数集合可数集的概念、例子、及运算性质。1.4基数为c的集合基数为C的集合概念与例子，运算性质（有限并、积、可数并）。【思政元素融入点】通过介绍集合论的发展史，让学生体会集合论在数学学科中的重要地位，学习科学家在追求真理的过程中一次次尝试、一次次突破、坚持不懈、敢于与困难作斗争的科学精神。第二章R"中的点集理论（8学时）【教学目标与要求】1、教学目标：通过学习点集的各类概念，点集上的连续函数的性质，点集间的距离，以及闭集套定理与覆盖定理，使得学生能应用定义证明相关结论，并区分各类概念的异同。2、教学要求：1）掌握直线上的点集：区间、开集、闭集及构造。2）理解聚点、孤立点、闭集、闭包、完备集、稠密集和疏朗集的概念。3）掌握点集上的连续函数的性质以及点集间的距离，闭集套定理与覆盖定理。【教学重点与难点】1、教学重点：R”中点集基本概念，直线上开集和闭集构造定理，点集上4
4 2、教学难点：可数基数与连续基数，将一些分析问题转化为用上限集和下 限集示，判断集合对等的基本技能。 【教学内容】 1.1 集合及其运算 集合概念、表示与运算（交、并、差、余、上极限、下极限与极限）。 1.2 集合的基数 映射、单射、满射、基数的概念、特殊集合的基数及有关结论。 1.3 可数集合 可数集的概念、例子、及运算性质。 1.4 基数为 c 的集合 基数为 c 的集合概念与例子，运算性质（有限并、积、可数并）。 【思政元素融入点】 通过介绍集合论的发展史，让学生体会集合论在数学学科中的重要地位， 学习科学家在追求真理的过程中一次次尝试、一次次突破、坚持不懈、敢于与 困难作斗争的科学精神。 第二章 n R 中的点集理论（8 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 通过学习点集的各类概念，点集上的连续函数的性质,点集间的距离，以及 闭集套定理与覆盖定理,使得学生能应用定义证明相关结论，并区分各类概念的 异同。 2、教学要求： 1) 掌握直线上的点集：区间、开集、闭集及构造。 2) 理解聚点、孤立点、闭集、闭包、完备集、稠密集和疏朗集的概念。 3）掌握点集上的连续函数的性质以及点集间的距离，闭集套定理与覆盖定 理。 【教学重点与难点】 1、教学重点： n R 中点集基本概念，直线上开集和闭集构造定理，点集上
的连续函数的性质，以及点集间的距离。2、教学难点：各种概念的异同点，开集、闭集互化问题，判断一个集合是否是开、闭集的方法、技巧。【教学内容】2.1基本概念距离公式定义、性质；邻域与区间的定义；点列的收敛性与极限。2.2开集与闭集定义、等价刻画，它们之间的对偶关系；运算性质。2.3闭集套原理与覆盖定理闭集套原理、子列定理、有限覆盖定理、可数覆盖定理。2.4开集的构造任意开集的一般构造定理、平面上开集的构造定理、直线上开集的构造定理，闭集的构造及有界完备集的构造定理。2.5点集上的连续函数连续性的定义，等价描述；连续函数的运算性质；有界闭集上连续函数的性质。2.6点集间的距离两种距离的定义、可达性及应用；距离函数的连续性及应用。【思政元素融入点】通过展示将数学分析中二维点集理论知识推广到n维空间的过程，提升学生的学科素养，发展自主学习能力，树立善于思考、敢于创新的科学精神。第三章测度理论（10学时）【教学目标与要求】1、教学目标：测度论是本门课程的重点也是难点，起着承上启下的作用，通过本章的学习，使得学生熟练掌握可测集的概念及性质，为后续勒贝格积分的定义奠定理论基础。2、教学要求：1）理解外测度、可测集的概念，熟练掌握卡氏条件及等价形式，以便灵活5
5 的连续函数的性质，以及点集间的距离。 2、教学难点：各种概念的异同点，开集、闭集互化问题，判断一个集合是 否是开、闭集的方法、技巧。 【教学内容】 2.1 基本概念 距离公式定义、性质；邻域与区间的定义；点列的收敛性与极限。 2.2 开集与闭集 定义、等价刻画，它们之间的对偶关系；运算性质。 2.3 闭集套原理与覆盖定理 闭集套原理、子列定理、有限覆盖定理、可数覆盖定理。 2.4 开集的构造 任意开集的一般构造定理、平面上开集的构造定理、直线上开集的构造定 理，闭集的构造及有界完备集的构造定理。 2.5 点集上的连续函数 连续性的定义，等价描述；连续函数的运算性质；有界闭集上连续函数的 性质。 2.6 点集间的距离 两种距离的定义、可达性及应用；距离函数的连续性及应用。 【思政元素融入点】 通过展示将数学分析中二维点集理论知识推广到n 维空间的过程，提升学 生的学科素养，发展自主学习能力，树立善于思考、敢于创新的科学精神。 第三章 测度理论（10 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 测度论是本门课程的重点也是难点，起着承上启下的作用，通过本章的学 习，使得学生熟练掌握可测集的概念及性质，为后续勒贝格积分的定义奠定理 论基础。 2、教学要求： 1) 理解外测度、可测集的概念，熟练掌握卡氏条件及等价形式，以便灵活