《高等代数II》课程教学大纲一、课程信息课程名称：高等代数ⅡHigher Algebra II课程代码：06S1105B、06S2105B课程类别：专业基础课程/必修课适用专业：数学与应用数学、应用统计学课程学时：75学时课程学分：4学分修读学期：第3学期先修课程：数学分析1、解析几何二、课程目标高等代数是数学与应用数学专业重要的基础课程之一，是理论性、应用性很强的一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认识，提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；建立应用数学知识建立数学模型解决实际问题的意识；使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习数学学科后续课程（如抽象代数、离散数学、数值分析、常微分方程、泛函分析、运筹学等）提供必要的基础理论知识；为学生在创新能力提升等方面搭建重要的平台。高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。本课程分两个学期开设，高等代数1在第二学期开设，高等代数2在第三学期开设
《高等代数Ⅱ》课程教学大纲 一、课程信息 课程名称：高等代数Ⅱ Higher Algebra Ⅱ 课程代码：06S1105B、06S2105B 课程类别：专业基础课程/必修课 适用专业：数学与应用数学、应用统计学 课程学时：75学时 课程学分：4学分 修读学期：第3学期 先修课程：数学分析1、解析几何 二、课程目标 高等代数是数学与应用数学专业重要的基础课程之一,是理论性、应用性很 强的一门基础课。通过本课程的教学，使学生对高等代数乃至代数学的思想和方 法有较深刻的认识, 提高学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力；建立应用数学 知识建立数学模型解决实际问题的意识；使学生初步掌握基本的、系统的代数知 识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；进一步理解具体与 抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，为学生学习数学学科后续课程（如 抽象代数、离散数学、数值分析、常微分方程、泛函分析、运筹学等）提供必要 的基础理论知识；为学生在创新能力提升等方面搭建重要的平台。 高等代数主要包括多项式理论和线性代数两部分。其中，多项式理论包括一 元多项式理论和多元多项式理论；线性代数包括行列式、线性方程组、矩阵、二 次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧氏空间和双线性函数。 本课程分两个学期开设，高等代数 1 在第二学期开设，高等代数 2 在第三学 期开设
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.系统掌握线性空间、线性变换、入-矩阵、欧式空间等代数核心理论；进一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；掌握学习数学学科后续课程必要的基础理论知识，从而提升学生的专业知识素质，为后续课程及其它相关学科的学习建立良好的知识储备；能够运用高等代数的基本理论和知识进行运算，并正确求得运算结果：理解数学学科的育人价值，感悟数学教学中的育人活动。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、6.2】2.能够正确运用高等代数的理论进行逻辑推理，能够对有关的高等代数知识和问题进行直观想象；培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业能力素质：树立终身学习理念，培养学生课堂参与度、自主学习习惯和职后发展的能力；培养学生将遇到的问题转化为教研问题的能力。【支撑毕业要求指标点3.1、3.3、4.3、7.1)3.培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建领地掌握中学数学教学中所需的知识；同时，通过案例式教学、翻转课堂、习题讲解等方式，激发学生探索与求知的欲望，提高学生的教学能力、沟通合作技能：具备团队合作精神和一定的创新能力；培养学生自主学习。【支撑毕业要求指标点3.2、7.1、7.3、8.1、8.3]（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1课程目标与毕业要求指标点的对应关系课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点【3.1知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。3.学科素养课程目标 16.综合育人【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直观想象、数据分析等数学学科的专业能力。【6.2学科育人】理解数学学科育人价值，能在数学教学中融入思政并进行育人活动
（一）具体目标 通过本课程的学习，使学生达到以下目标： 1. 系统掌握线性空间、线性变换、 -矩阵、欧式空间等代数核心理论；进 一步理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系；掌握学习数学学科 后续课程必要的基础理论知识，从而提升学生的专业知识素质，为后续课程及其 它相关学科的学习建立良好的知识储备；能够运用高等代数的基本理论和知识进 行运算，并正确求得运算结果；理解数学学科的育人价值，感悟数学教学中的育 人活动。【支撑毕业要求指标点 3.1、3.3、6.2】 2. 能够正确运用高等代数的理论进行逻辑推理，能够对有关的高等代数知 识和问题进行直观想象；培养学生解决问题的基本意识与技能，提高学生的专业 能力素质；树立终身学习理念，培养学生课堂参与度、自主学习习惯和职后发展 的能力；培养学生将遇到的问题转化为教研问题的能力。【支撑毕业要求指标点3.1、 3.3、4.3、7.1】 3. 培养学生的终身学习和专业发展意识，以便能够高屋建瓴地掌握中学数 学教学中所需的知识；同时，通过案例式教学、翻转课堂、习题讲解等方式，激 发学生探索与求知的欲望，提高学生的教学能力、沟通合作技能；具备团队合作 精神和一定的创新能力；培养学生自主学习。【支撑毕业要求指标点3.2、7.1、7.3、 8.1、8.3】 （二）课程目标与毕业要求的对应关系 表1 课程目标与毕业要求指标点的对应关系 课程目标 支撑的毕业要求 支撑的毕业要求指标点 课程目标 1 3.学科素养 6.综合育人 【3.1 知识素养】 具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学 科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、 清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直 观想象、数据分析等数学学科的专业能力。 【6.2 学科育人】 理解数学学科育人价值，能在数学教学中融入 思政并进行育人活动
【3.1知识素养】具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。【3.3专业技能】具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直3.学科素养观想象，数据分析等数学学科的专业能力。课程目标24.教学能力【4.3教研能力】了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科7.学会反思的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能力。【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不断学习和适应发展的能力。【3.2学科融合】了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实践的联系，认同数学的应用价值，了解新技术，县备一定的信息化素养。【7.1学会学习】具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不3.学科素养断学习和适应发展的能力。4.教学能力【7.3勤学善思】掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方课程目标37.学会反思法分析和解决数学教育教学中的问题。【8.1团结协作】具有团体意识，掌握团队协作的基本策略，能够8.沟通合作参与小组学习、专题研讨、团队互动等学习活动，善于分享经验和想法。【8.3学习共同体】理解学习共同体在中学数学学习中的重要性，乐于参与学习共同体，具备构建积极向上学习共同体的能力。三、课程内容（一）课程内容与课程目标的关系表2课程内容与课程目标的关系课程内容教学方法支撑的课程目标学时安排20第六章线性空间案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1、2、322第七章线性变换案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1、2、310第八章入矩阵案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1第九章21欧几里得空间案例式教学、翻转课堂、课堂讲授课程目标1、2第十章2双线性函数案例式教学、翻转课堂、课堂讲投课程目标1合计75学时
课程目标 2 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 【3.1 知识素养】 具有丰富扎实的数学学科专业知识，掌握数学学 科主要理论、思想和方法。对数学学科知识结构体系的建构有正确、 清晰、合理的认识。了解学习科学相关理论与方法。 【3.3 专业技能】 具有良好的数学抽象、逻辑推理、数值计算、直 观想象、数据分析等数学学科的专业能力。 【4.3 教研能力】 了解教育基本思想和方法，能够掌握数学学科 的新发展和教学领域的一些最新研究成果，具有一定的教学研究能 力。 【7.1 学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不 断学习和适应发展的能力。 课程目标 3 3.学科素养 4.教学能力 7.学会反思 8.沟通合作 【3.2 学科融合】 了解数学学科与物理、计算机等学科以及社会实 践的联系，认同数学的应用价值。了解新技术，具备一定的信息化 素养。 【7.1 学会学习】 具有自主学习、终身学习和专业发展意识，有不 断学习和适应发展的能力。 【7.3 勤学善思】 掌握反思方法和技能，学会运用批判性思维方 法分析和解决数学教育教学中的问题。 【8.1 团结协作】 具有团体意识，掌握团队协作的基本策略，能够 参与小组学习、专题研讨、团队互动等学习活动，善于分享经验和 想法。 【8.3 学习共同体】 理解学习共同体在中学数学学习中的重要性， 乐于参与学习共同体，具备构建积极向上学习共同体的能力。 三、课程内容 （一）课程内容与课程目标的关系 表2 课程内容与课程目标的关系 课程内容 教学方法 支撑的课程目标 学时安排 第六章 线性空间 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2、3 20 第七章 线性变换 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2、3 22 第八章 矩阵 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1 10 第九章 欧几里得空间 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1、2 21 第十章 双线性函数 案例式教学、翻转课堂、课堂讲授 课程目标 1 2 合计 75 学时
（二）具体内容第六章线性空间（20学时）【教学目标与要求】1、教学目标：线性空间内容是学习线性变换的基础。本章主要学习：线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、基变换与坐标变换、线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构、极大无关组的求法等内容。通过本章学习，使学生学到线性空间讨论的三种研究途径。2、教学要求：1）掌握映射、单射、满射、双射和逆映射等概念；掌握映射可逆的条件。2）掌握线性空间的定义（两个集合、两种运算、八条规则）及4条基本性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。3）理解向量是一个典型的数域上的线性空间，其中的线性相关性理论可以移植到一般线性空间中来；理解线性空间的基、维数和坐标的定义，知道空间的基可以有不同的选择，而维数是不动的，向量的坐标与基的选择有关。4）理解和掌握基变换与坐标变换的关系。5）理解线性空间的非空子集作为线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。6）掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。7）深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。8）理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。9）掌握向量组的极大无关组与它的坐标组的极大无关组的对应关系，会用初等变换法求向量组的极大无关组。【教学重点与难点】1、教学重点：线性空间的定义，基、维数和坐标，基变换与坐标变换的关系，由向量组生成子空间及等价条件，子空间的交与和、维数公式、子空间的直和，线性空间同构，极大无关组的求法
（二）具体内容 第六章 线性空间（20 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 线性空间内容是学习线性变换的基础。本章主要学习： 线性空间的定义与 简单性质、维数、基与坐标、基变换与坐标变换、线性子空间、子空间的交与和、 子空间的直和、线性空间的同构、极大无关组的求法等内容。通过本章学习，使 学生学到线性空间讨论的三种研究途径。 2、教学要求： 1）掌握映射、单射、满射、双射和逆映射等概念；掌握映射可逆的条件。 2）掌握线性空间的定义（两个集合、两种运算、八条规则）及 4 条基本性 质；会判断一个代数系统是否是线性空间。 3）理解向量是一个典型的数域 上的线性空间，其中的线性相关性理论可以 移植到一般线性空间中来；理解线性空间的基、维数和坐标的定义，知道空间的 基可以有不同的选择，而维数是不动的，向量的坐标与基的选择有关。 4）理解和掌握基变换与坐标变换的关系。 5）理解线性空间的非空子集作为线性子空间的定义及判别定理；掌握向量 组生成子空间的定义及等价条件。 6）掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。 7）深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。 8）理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条 件。 9）掌握向量组的极大无关组与它的坐标组的极大无关组的对应关系,会用初 等变换法求向量组的极大无关组。 【教学重点与难点】 1、教学重点：线性空间的定义，基、维数和坐标，基变换与坐标变换的关 系，由向量组生成子空间及等价条件，子空间的交与和、维数公式、子空间的直 和，线性空间同构，极大无关组的求法
2、教学难点：子空间的直和，线性空间的同构。【学习内容】1集合与映射2线性空间的定义与简单性质3维数、基与坐标4基变换与坐标变换5线性子空间6子空间的交与和7子空间的直和8线性空间的同构9极大无关组的求法【思政元素融入点】线性空间的定义是从向量空间、矩阵空间推得和引出的，体现了由具体到抽象的思想；同时线性空间属于高度抽象的定义，通过学习，培养学生的空间想象能力和勇于探索的科学精神。而线性空间中向量组的最大线性无关组的概念可以引入国与家的关系，最大无关组（家）是向量组（国）的一部分，向量组的任意一个向量能由最大无关组线性表示，让学生更好的体会家与国的关系，增强学生的爱国主义情感。各行各业的劳动者不忘初心，牢记使命，共同建设我们美丽的家园，为实现中华民族伟大复兴的中国梦而拼搏奋斗。第七章线性变换（22学时）【教学目标与要求】1、教学目标：线性变换是高等代数的重要内容之一。本章学习：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵、线性变换的特征值、特征向量、特征多项式、对角矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间、若尔当（Jordan）标准形等内容。2、教学要求：1）掌握线性变换的定义及性质。2）掌握线性变换的加、减、乘、数乘和乘方的运算及运算律，理解线性变换的多项式；知道线性变换的乘法不满足交换律，但同一线性变的任意两个多项式是可交换的。3）理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质
2、教学难点：子空间的直和，线性空间的同构。 【学习内容】 1 集合与映射 2 线性空间的定义与简单性质 3 维数、基与坐标 4 基变换与坐标变换 5 线性子空间 6 子空间的交与和 7 子空间的直和 8 线性空间的同构 9 极大无关组的求法 【思政元素融入点】 线性空间的定义是从向量空间、矩阵空间推得和引出的，体现了由具体到抽 象的思想；同时线性空间属于高度抽象的定义，通过学习，培养学生的空间想象 能力和勇于探索的科学精神。 而线性空间中向量组的最大线性无关组的概念可 以引入国与家的关系，最大无关组（家）是向量组（国）的一部分，向量组的任 意一个向量能由最大无关组线性表示，让学生更好的体会家与国的关系，增强学 生的爱国主义情感。各行各业的劳动者不忘初心，牢记使命，共同建设我们美丽 的家园，为实现中华民族伟大复兴的中国梦而拼搏奋斗。 第七章 线性变换（22 学时） 【教学目标与要求】 1、教学目标： 线性变换是高等代数的重要内容之一。本章学习：线性变换的定义、线性变 换的运算、线性变换的矩阵、线性变换的特征值、特征向量、特征多项式、对角 矩阵、线性变换的值域与核、不变子空间、若尔当（Jordan）标准形等内容。 2、教学要求： 1）掌握线性变换的定义及性质。 2）掌握线性变换的加、减、乘、数乘和乘方的运算及运算律，理解线性变 换的多项式；知道线性变换的乘法不满足交换律，但同一线性变的任意两个多项 式是可交换的。 3）理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在 不同基下的矩阵相似等性质