《自动控制原理》课程教学资源（课件讲稿）第7章 线性离散控制系统_7.3 Z变换

7.3Z变换 ■线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换 分析它的暂态性能及稳态性能。 ■而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用变 换来分析它的暂态性能及稳态性能。 ■变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换 导出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换

n线性连续控制系统可采用线性微分方程来描述，用拉普拉斯变换 分析它的暂态性能及稳态性能。 n而对于线性离散系统，则可以采用线性差分方程来描述，用Z变 换来分析它的暂态性能及稳态性能。 n Z变换是研究离散系统的主要数学工具，它是由拉普拉斯变换引 导出来的，实际上就是离散信号的拉普拉斯变换。 7.3 Z 变换

7.3.1Z变换的定义 已知连续信号f)的拉普拉斯变换为： F(s)=f()e-dt 而连续信号)经过采样后的离散信号f“()为： f(->fuT)6(-nT) n=0 它的拉普拉斯变换为： F(s=f(0=ΣfT)e 可见：上式含有s的超越函数-n,不便于计算，故 引入一个新的复变量：

它的拉普拉斯变换为：       0 * * ( ) [ ( )] ( ) n nTs F s L f t f nT e 7.3.1 Z 变换的定义 已知连续信号f(t)的拉普拉斯变换为：     0 F(s) L[ f (t)] f (t)e dt st 而连续信号f(t)经过采样后的离散信号f *(t)为：      0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT  t nT 可见：上式含有s的超越函数e -nTs ，不便于计算，故 引入一个新的复变量z

Z变换（续） F()=4f(l=∑fTen =0 1 令z=e或s=二lnz(是一个复变量)，则有： (=F) n=0 如果上式所示的级数收敛，则定义F(2为f()的z变换，记作 Zf*(t)=F(a。 指出：F(e)是f(的：变换，它只考虑了采样时刻的信号值f(nT刀。 但对于连续信号f0而言，由于在采样时刻f(0的值就是fmI), 所以也称Fε)是)的：变换，即 ZIf()=ZIf()=F()=f(nT)

Ts 令z  e z (z是一个复变量)，则有： T s ln 1 或  Z 变换（续）        0 ln 1 * ( ) ( ) ( ) n n z T s F z F s f nT z 如果上式所示的级数收敛，则定义F(z)为f *(t)的z 变换，记作 Z[f *(t)]=F(z)。 指出: F(z)是f *(t)的z 变换，它只考虑了采样时刻的信号值 f (nT) 。 但对于连续信号 f (t)而言，由于在采样时刻 f (t) 的值就是 f (nT) ， 所以也称 F(z)是f(t)的z 变换， 即        0 * [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) n n Z f t Z f t F z f nT z

7.3.2Z变换的求法 1.级数求和法： 将离散级数f(u)展开： f(0)=∑f(nT)6t-nT n=0 =f(0)6(t)+f(T)6(t-T)+f(2T)6(t-2T)+. +f(nT)6(t-nT)+. 则F(s)=f(0)×1+f(T)e-+f(2T)e-2 +f(nT)e-ms f(nT)e+ 或F(z)=f(0)×1+f(T)z+f(2T)z2+· +f(nT)z "+

7.3.2 Z 变换的求法 1．级数求和法： 将离散级数 ( ) : f * t 展开             n f nT z F z f f T z f T z ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 或 1 2      0 * ( ) ( ) ( ) n f t f nT  t nT           ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) f nT t nT f t f T t T f T t T                  nTs nTs Ts Ts f nT e f nT e F s f f T e f T e ( ) ( ) ( ) (0) 1 ( ) (2 ) 则 * 2

变换的求法（续） F(z)=f(0)×1+f(T)z1+f(2T)z2+.+f(nT)z"+. ■这是离散信号f*(①的Z变换展开形式，只要知道)在各个采样时 刻的数值，即可求得其Z变换。这种级数展开式是开放形式，有 无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。 例1：求单位阶跃1(0的Z变换。 解：1()在任何采样点的值均为1，∴1(nT)=1 .Z1(0=z°+z1+z2+.+zn 公比为z；若满足<1，则有：

n 这是离散信号f *(t) 的Z变换展开形式，只要知道f(t)在各个采样时 刻的数值，即可求得其Z变换。这种级数展开式是开放形式，有 无穷多项，应用少，通常写成闭合形式。 Z变换的求法（续） F(z)  f (0)1  f (T)z 1  f (2T)z 2  f (nT )z n  解：1(t)在任何采样点的值均为1，  Z[1(t)]  z 0  z 1  z 2  z n  1 公比为 z ；若满足 1 1   z ，则有： 1(nT) 1 例1：求单位阶跃1(t)的 Z 变换