华师大数学分析（第五版）讲义第五章导数和微分三、极值定义3若函数f在点x的某邻域U(x）内对一切xeU(x）有f(xo)≥f(x) (f(xo)≤f(x),则称函数f在点x.取得极大（小）值，称点x。为极大（小）值点.极大值、极小值统称为极值极大值点、极小值点统称为极值点还可定义严格极大（小）值.【注】根据定义，对于区间端点不定义极值。思考“点x不是f极值点”怎样叙述？定理2（费马(Fermat)定理）设函数f在点x的某邻域内有定义，且在点x。可导，若点x为f的极值点，则必有f(x）=0证法1设f（x）±0.不妨f（x）>0.则f(x)= f(xo)= f(x)>0(x)-(x)>0及保号性可知，由f(x)=lim X-Xo38 >0 Vxe(%, +3), (=()>0. (n)>(c)X-Xo同理，由f(x）>0,可得38,>0, Vxe(-8), )-I()>0. ()<()X-Xo所以，f在点x不取极值，与假设矛盾。证法2设f在点x取极大值。即f(x)≤f(x),xeU(x）。因此当x>时，()-()≤0，由保不等式性X-Xof(x)-f(x) ≤0(x0)= lim X-Xos6中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 三、极值 定义 3 若函数 在点 的某邻域 内对一切 f 0 x )( 0 xU )( 0 xUx 有 )()( 0 xfxf )),()(( 0 xfxf 则称函数 在点 取得极大(小)值，称点 为极大(小)值点．极大值、极小值统称为极值， 极大值点、极小值点统称为极值点． f 0 x 0 x 还可定义严格极大（小）值. 【注】根据定义，对于区间端点不定义极值。 思考 “点 0 x 不是 f 极值点”怎样叙述？ 定理 2 (费马(Fermat)定理) 设函数 在点 的某邻域内有定义，且在点 可导．若 点 为 的极值点，则必有 f . 0 x 0 x 0 x f 0)( xf 0 证法 1 设 f x ( ) 0. 0 不妨 f x ( ) 0. 0 则 000 fx fx fx () () ()0 由 0 0 0 0 () ( ) ( ) lim 0 x x fx fx f x x x 及保号性可知， 1 0， 00 1 x xx (, ) ， ,0 )()( 0 0 xx xfxf 0 f () ( ) x fx 同理，由 f x ( ) 0, 0 可得 2 0 ， 0 20 x ( , x x ) ， ,0 )()( 0 0 xx xfxf 0 f () ( ) x fx 所以， f 在点 0 x 不取极值，与假设矛盾。 证法 2 设 f 在点 0 x 取极大值。即 0 0 f ( ) ( ), ( ) x fx x Ux 。因此 当 0 x x 时， 0 0 () ( ) 0 fx fx x x ，由保不等式性 0 0 0 0 () ( ) ( ) lim 0 x x fx fx f x x x 中国矿业大学数学学院 6
华师大数学分析（第五版）讲义第五章导数和微分同理又可得，f"(x)≥0。由f(x)=f"(x)=J(x)得f'(x)=0我们称满足方程f（x）=0的点为稳定点或驻点【注1】当f在点x。可导时，f(x）=0只是f在点取极值的必要条件。例如f(x)=x，点x=0是稳定点，但却不是极值点【注2】不可导的点也可能是极值点。如y=x在点x=0。7中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 中国矿业大学数学学院 7 同理又可得， 。由 0 0 f x()0 0 0 f () () () x fx fx 得 0 f x ()0 我们称满足方程 的点为 f x () 0 稳定点或驻点． 【注 1】当 在点 可导时， f 0 x 0 f x ()0 只是 f 在点 0 x 取极值的必要条件。例如 ，点 是稳定点，但却不是极值点． 3 )( xxf x 0 【注 2】不可导的点也可能是极值点。如 y x 在点 x 0
华师大数学分析(第五版)讲义第五章导数和微分$2求导法则一、导数的四则运算定理1（导数的四则运算法则）1° [f(x)+g(x) = f(x)+g(x)2° [f(x)-g(x)] = f'(x)-g'(x)3° [F(x)g(x)] = f'(x)g(x)+ f(x)g(x), [cf(x) =cf'(x)[(x) 7_ f(x)g(x)- f(x)g(x)4°,g(x)±0[g(x)P[g(x)][证明自学]例1设f(x)=x3+5x2=9x+元，求f(x)解f(x)=(x3)+5(x2)-9(x)+(元)=3x2+10x-9—般地：多项式函数f(x)=a"+a,x"-+…+an--+anf(x) = naox"- +(n--1)a,x"-2 +.+an-I例2 证明(x-）=-nx-"-l，其中n 为正数.nx "-!证(x-n-nx-2=例3(sin x) cos x-sin x(cos x)sinx1° (tanx)cos?xcos.xcosx+sin?x1= sec? xcos"xcos"x2°(cotx)=-cscx0中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 §2 求导法则 一、导数的四则运算 定理 1（导数的四则运算法则） 中国矿业大学数学学院 8 1 () () () ( f x gx f x g x) 2 () () () ( f x gx f x g x) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x cf x cf x 2 () ()() () () 4 , ( ) [ ( )] f x f xgx f xg x g x gx gx ( ) 0 [证明自学] 例 1 设 95)( xxxxf ，求 23 xf )( ． 解 )()(9)(5)()( 3 2 xxxxf .9103 2 xx 一般地：多项式函数 nn n n aaxaxaxf 1 1 0 1 )( 1 2 1 1 0 )( )1( n n n axanxnaxf 例 2 证明 ，其中 为正数. 1 n n nxx n 证 1 2 1 1 n n n n n nx x nx x x . 例 3 1° 2 sin sin cos sin cos tan cos cos x x x xx x x x 2 2 2 2 2 cos sin 1 sec cos cos x x x x x 2° cot .csc 2 x x
华师大数学分析(第五版)讲义第五章导数和微分(cos x)sinx(secx):3°secxtanxcos xcos?xcOSx4°(cscx)=-cscxcotx二、反函数的导数定理2设y=f(x)为x=p(y)的反函数，若g(y)在点y的某邻域内连续，严格单调且β(%）+0，则(x)在点x=p(%)可导，且y=f(x)f'(xo)=g'()x=p(y)yof(x)-f(x)f(x)= lim证X-XoX→Xy-y.y=f(x)limOXox-→y-% y-% (p(y)-p()α+β=90°111tanα==limtan β(y)-p(y)p'(y)y-yo几何意义见图。【注】这里是用了变量替换法，见复合函数极限定理1，请读者验证其中的3个条件。例 4(a)=a"lna(a>0,a+l),(e*)=er1°12°(arcsinx)'=,xe(-11)Vi-x2-3°(arccosx)xe(-1,1).Vi.14°(arctanx)5,XE(-00,+00)1+x-5°(arccotx)-1+y,xe(-0, +0).证1°由于y=a,xeR为对数函数x=logy，ye(O,+o)的反函数，故9中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第五章 导数和微分 3° xx x x x x x x tansec cos sin cos cos cos 1 sec 2 2 ' ' ' 4° csc cotcsc xxx ' 二、反函数的导数 定理 2 设 为 xfy yx 的反函数，若y在点 的某邻域内连续，严格单调 且 ，则 在点 0 y 0 y 0 xf x0 y0 可导，且 中国矿业大学数学学院 9 0 0 1 f x y y f x( ) 证 0 0 0 0 () ( ) ( ) limx x f x fx f x x x 0 0 0 0 ( ) 0 lim () ( ) yfx xx yy y y y y y y 0 0 0 0 1 1 lim () ( ) ( ) y y y y y y y 几何意义见图。 【注】这里是用了变量替换法，见复合函数极限定理 1，请读者验证其中的 3 个条件。 例 4 1° ( ) ln ， x x a a a ( 0, 1 a a ) )( ee xx ． 2° 2 1 (arcsin ) , ( 1,1). 1 x x x 3° 2 1 (arccos ) , ( 1,1). 1 x x x 4° 2 1 (arctan ) ( , ). 1 x x x , 5° 2 1 (arccot ) ( , ). 1 x x x , 证 1°由于 Rxay 为对数函数 x , log (0 ) a x yy ， ， 的反函数，故 x ( ) y 0 x 0 y O 90 1 tan tan