第四节 第三章 蓝数的单调性与 曲我的凹马性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 HIGH EDUCATION PRESS 00C08 机动目录上页下页返回结束
第四节 一、函数单调性的判定法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章
一、 函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导 (1)若在(a,b)内f'(x)≥0且等号仅在有限个点成立 则f(x在[a,b]内单调递增 (2)若在(@，b)内.f'(x)≤0且等号仅在有限个点成立 则f(x在[a,b]内单调递减 证： 由拉格朗日中值定理 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 函数单调性的判定法 (1)若 定理 1. 设函数 则 在 内单调递增 证: 由拉格朗日中值定理 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 连续， 可导, 在 内 且等号仅在有限个点成立, (2)若 则 在 内单调递减 在 内 且等号仅在有限个点成立
说明： 1)如果函数在某驻点两边导数同号 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,x∈(-0，+0) y'=3x2 y1x-0=0 2)单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 1) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2）单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点
例3讨论函数 f()= 的单调性 解： f"(x33 (x≠0) y↑y=x 当 x=0时导数不存在 当x>0f'(x)>0 0 ∴.f(x)在[0，+o)上单调增 当x<0f'(x)<0 .f(x)在(（-o,0]上单调减 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3.讨论函数 的单调性. 解: 3 2 ( ) ( 0) 3 f x x x = 当 时导数不存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 f x ( ) 0 在 上单调增 当 f x ( ) 0 在 上单调减 y o x 3 2 y = x
例4.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-10(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-0,1)1(1,2)2 (2,+0) f'(x) 0 f(x) 2 故1的单调赠区间方.：2，+入 f(x)的单调减区间为1,2] 12 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例4. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 ( ,1], − [2, ); + 的单调减区间为 [1, 2]. 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束