《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.5.1-1.5.3

2.函数连续的定义1、2:←limAy=0函数f(x)在,点处连续 lim[f(x)- f(x)]=O, x=x +△xAr-0X-→Xo8-8定义lim f(x)= f(%V>0,3>0,使当0<x-x时X-Xo恒有|f(x)-f(x)/<右连续←f(% -0)=f(% +0)=f(%左连续若函数fx）在点x处连续，则称x为函数的连续点。连续点x：limf(x)=f(xo)若函数fx）在点处不连续，则称x为函数的间断点。间断点xa：limf(x）≠f(xo）x→xo高等数学（上册）

2.函数连续的定义1、2： 0 lim 0 x y      0 0 0 lim[ ( ) ( )] 0 . x x f x f x x x x     ，   0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x    fx00 fx00 fx0 0 函数f(x)在x点处连续 0 0 0, , , ( ) ( ) . 0 0 x x f x f x               定义 使当 时 恒有

从这个定义我们可以看出，函数f(x)在点 x处连续，必须满足以下三个条件：(1)函数f(x)在点x.处有定义;(2）极限 limf(x)存在，即x→Xolim f(x)= lim f(x)x-Xox-xo(3) lim f(x)= f(x,) :即：[函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值高等数学（上册）

从这个定义我们可以看出，函数 f (x)在点 x0 处连续，必须满足以下三个条件： （1）函数 f (x)在点 0 x 处有定义； （2）极限 lim ( ) 0 f x xx 存在，即 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x      （3）lim ( ) ( )0 0 f x f x x x   . 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极 限存在且等于该点的函数值

x±0,xsin例1 试证函数f(x)=在x= 0x0,x = 0,处连续证 limxsin==0,x→0x又 f(0)= 0,lim f(x) = f(O),x->0由连续定义知函数 f(x)在x=0处连续高等数学（上册）

例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在         x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0   x x x  又 f (0)  0, 由连续定义知 函数 f ( x)在 x  0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x  

3.单侧连续若函数f(x)在(a,xj内有定义,且f(x-0)= f(x)则称f(x)在点x.处左连续若函数f(x)在[xo,b)内有定义,且f(x。+0)= f(x)则称f(x)在点x.处右连续定理lim f(x)= f(x) f(x -0)= f(xo +0) = f(x)L>XO高等数学（上册）

3.单侧连续 ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x a x f x   f x 定理 ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x f x x b f x   f x           0 0 0 0 0 0 lim 0 f x f x f x f x f x x x                  0 0 0 0 0 lim 0 0 x x f x f x f x f x f x       