陕品师聚大學乐数学与信息科学学院?SHAANXLNORMALUNIVERS第六节复变函数的极限和连续性一、函数的极限二、函数的连续性三、小结与思考
第六节 复变函数的极限 和连续性 一、函数的极限 二、函数的连续性 三、小结与思考
该中怀数的极限与信息科学学院HA1.函数极限的定义：设函数w= f(z)定义在z.的去心邻域0<z-z|<p内,如果有一确定的数 A存在对于任意给定的ε>0相应地必有一正数S()使得当0<z-z<(0<≤p)时,有If(z2)- A<那末称A为f(）当z趋向于z.时的极限记作 lim f(z)= A. (或 f(z)—→A)注意：定义中z→z的方式是任意的
一、函数的极限 1.函数极限的定义: ( ) . ( ) ( ) 0 (0 ) , 0, 0 , , ( ) 0 0 0 0 那末称 为 当 趋向于 时的极限 使得当 时 有 对于任意给定的 相应地必有一正数 内 如果有一确定的数 存在 设函数 定义在 的去心邻域 A f z z z f z A z z z z A w f z z lim ( ) .( ( ) ) 0 0 f z A f z A z z 记作 zz 或 注意: . 定义中 z z0 的方式是任意的
陕西师聚大學陈数学与信息科学学院HOANXT2.极限计算的定理定理一设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u. +iv.z.= x +iy，那末 lim f(z)= A的充要条件是limu(x,y)=u, limv(x, y) = v.y证(1) 必要性. 如果 lim f(z)= A, 则对于任ZZ0意>0,存取>0.使得当0<-z<8时(即当0<(x+iy)-(x +iy)<时),有(u+iv)-(uo+ivo)<e
2. 极限计算的定理 定理一 lim ( , ) , lim ( , ) . , lim ( ) ( ) ( , ) ( , ), , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v z x iy f z A f z u x y iv x y A u iv y y x x y y x x z z 那末 的充要条件是 设 证 lim ( ) , 0 f z A z z 如果 则对于任 0 ( ) ( ) ), 当 x iy x 0 iy 0 时 ( ) ( ) , 0 0 u iv u iv (1) 必要性. 0,存取 0,使得当 有 意 0 ( z z 0 时 即
陕西师大学陈数学与信息科学学院或当 0<(x-x)+(y-y)<时,(u-uo)+i(v-vo)<, =u-uo<, -vo<8故 lim u(x,y)=uo,lim v(x, y)= Vo.x-→xox-→Xoy→yoy-yo(2) 充分性. 若 lim u(x,y)= uo,lim v(x,y) =Vox-→Xox-→Xoy-yoy→yo则对于任意 ε>0,存在S>0,使得当 0<(x-x)+(y-y)<8时,有8C22
0 ( ) ( ) , 2 0 2 或当 x x0 y y 时 ( ) ( ) , 0 0 u u i v v , , 0 0 u u v v lim ( , ) , lim ( , ) . 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v y y x x y y x x 故 lim ( , ) , lim ( , ) , 0 0 0 0 0 0 u x y u v x y v y y x x y y x x (2) 充分性. 若 则对于任意 0,存在 0,使得 当 0 (x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 时, 有 , 2 , 2 0 0 u u v v
陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1Nf(z)-A= (u-u)+i(v-v)≤u-uo| +[v-vo故当 0<-z<时,f(z)-A<,[证毕]所以 lim f(z) = A.Z→Zo说明该定理将求复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的极限问题，转化为求两个二元实变函数u(x，J）和v(x,y)的极限问题
( ) ( ) ( ) 0 0 f z A u u i v v 0 0 u u v v 0 , 故当 z z0 时 f (z) A , lim ( ) . 0 f z A z z 所以 [证毕] 说明 ( , ) . , ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 和 的极限问题 的极限问题 转化为求两个二元实变 函数 该定理将求复变函数 v x y u x y f z u x y iv x y