陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）2.2 函数解析的充要条件

陕品师大學乐数学与信息科学学院SHAANXNORMALUNIVERSI第二节函数解析的充要条件一、主要定理二、典型例题三、小结与思考

第二节 函数解析的充要条件 一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考

陕西师敦大學乐数学与信息科学学院SHAANXENORMA主要定理定理一设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D内有定义,则 f(z)在 D内一点 z= x+ yi可导的充要条件是: u(x,y)与v(x,J)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西一黎曼方程柯西介绍ouvuav黎曼介绍OxOxay'Qy

一、主要定理 定理一 . ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x v y u y v x u u x y v x y x y f z D z x yi f z u x y iv x y D                , : , , 点满足柯西－黎曼方程 件是 与 在点 可微 并且在该 定义 则 在 内一点 可导的充要条 设函数 在区域 内有 柯西介绍 黎曼介绍

陕西师聚大学陈数学与信息科学学院HAANX证 (1) 必要性,设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 D内一点z= x+yi可导，则存在>0,使得当0z时，有f(z + △z) - f(z) = f'(z2)△z + p(z)△z其中 lim p(△z)=0,令 f(z+z)- f(z) = △u+iv,f'(z)=a+ib, p(△z)=p +ip.

证 (1) 必要性. 时 有 可导 则存在 使得当 设 在 内一点 ， z x yi f z u x y iv x y D 0 | z | , 0, , ( ) ( , ) ( , )           f (z  z)  f (z)  f (z)z  (z)z, lim ( ) 0, 其中 z0  z  令 f (z  z)  f (z)  u  iv, f (z)  a  ib, ( ) ,  1 2 z   i

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院HOANXI所以 △u+讼v= (a +ib)(△x +iy) +(p +ip (△x +iy)= (ax - bAy+ p△x-p,Ay)+i(bAx + aAy+ pAx + pAy)于是 △u=aAr-bAy+p,Ax-P2AyAv=bAr+aAy+P,Ar+PiAy因为 lim p(△z)=0, 所以 lim Pi = lim P2= 0,Ar→0Ar-0470Ay→0Ay->0

所以 u  iv ( )( ) ( )( ) 1 2  a  ib x  iy    i x  iy ( ) ( ) 2 1 1 2 i b x a y x y a x b y x y                     , 1 2 于是 u  ax  by   x   y . 2 1 v  bx  ay   x   y lim ( ) 0, 0     z z 因为  1 0 0 lim      y x 所以 2 0 0 lim       y x  0

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERQuouOvOv-h从而，=aaxayayax由此可知 u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微QuOvuOv且满足方程axay' yax

从而 , b x v a y v x u               y u , 由此可知 u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微, , . x v y u y v x u            且满足方程