陕品师乾大學乐数学与信息科学学院?SHAANXLNORMALUNIVERSI第三节复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根三、小结与思考
第三节 复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 三、小结与思考
陕品师聚大學陈数学与信息科学学院SHOANNORMAL乘积与商定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和证设复数z,和z,的三角形式分别为zi = r(cos, +isin@),，Z2=r(cos0,+isin0)则z·Z2 =r(cos, +isinの)·r(cos, +isin,)=rrl(cose,cosg,-sine,sin)+i(sinecos,cose,sin)
一、乘积与商 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘 积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 设复数z1和z2的三角形式分别为 (cos sin , z1 r1 1 i 1） (cos sin , z2 r2 2 i 2） (cos sin ) (cos sin ) 1 2 1 1 1 2 2 2 则z z r i r i (sin cos cos sin )] [(cos cos sin sin ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i r r 证
陕品师乾大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMA1Nzi-z, = ri · r2[cos(, +0,)+isin(0 +0,)][证毕]Arg(zjz2) = Argzi +Argz2.从几何上看，两复数对应的向量分别为，先把按逆时针方向旋转一个角 02再把它的模扩大到r倍.0所得向量之就表示积Z·Z2·0两复数相乘就是把模数相乘辐角相加
[cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 2 1 2 z z r r i 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. , 再把它的模扩大到 r2 倍 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 , , 1 2 z z , 2 1 旋转一个角 先把 z 按逆时针方向 . 1 2 所得向量 z 就表示积 z z 2 o x y r 2r 1r 2 z 1 1 z z Arg( ) Arg Arg . 1 2 1 2 z z z z [证毕]
陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AAN说明由于辐角的多值性, Arg(zjz2)= Argzi +Argz2两端都是无穷多个数构成的两个数集对于左端的任一值,右端必有值与它相对应例如，设 zi =-1, 2 =i，则 zi·2 =-i,Argz = 元+2nπ, (n = 0, ±l, ±2,..),元Argz2 = + 2mπ, (m = 0, ±1, ± 2,,2元+2k元，(k=0,±1,±2,..),Arg(zjz2) =-23元_"+2k元，只须k=m+n+1.故+2(m+n）元=22若k=-1,则m=0,n=-2或m=-2,n=0
说明 由于辐角的多值性, 1 2 1 A 2 Arg(z z ) Argz rgz 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如， 1, , 1 2 设 z z i , 1 2 则 z z i Arg 2 , ( 0, 1, 2, ), z1 n n 2 , ( 0, 1, 2, ), 2 Arg 2 z m m 2 π, ( 0, 1, 2, ), 2 π Arg( ) z1z2 k k 2 , 1. 2 2( ) 2 3 故 m n k 只须 k m n 若 k 1, 则 m 0,n 2或 m 2,n 0
陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AANN设复数z,和z,的指数形式分别为,i(01+02)Z =reio, Z2 =re"%, 则 z1 Zz =i-re'0由此可将结论推广到n个复数相乘的情况：设 zk = r (cos0, +isin0,)= reiox, (k =1,2,..,n)zi·z2 .....zn = ri·r..rcos(o +0, +...+o.)+isin(0 +, +...+0n))r,ei(,+,+.,)=r·r
设复数z1和z2的指数形式分别为 , 1 1 1 i z r e . ( ) 1 2 1 2 1 2 i , 则 z z r r e 2 2 2 i z r e 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: n z z z 1 2 z r (cos isin ) r e , (k 1,2, ,n) k i 设 k k k k k sin( )] [cos( ) 1 2 1 2 1 2 n n n i r r r . ( ) 1 2 1 2 n i n r r r e