陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）2.1 解析函数的概念

陕西师聚大学数学与信息科学学院SHAANXLNORMAIUNIVE第一节解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、小结与思考

第一节 解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、小结与思考

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXINO复变函数的导数与微分1.导数的定义：设函数 w =f(z)定义于区域 D,z. 为D中的一点,点z+△z不出D的范围f(zo +△z) - f(zo)lim存在,如果极限AzAz-0那末就称f(z）在z.可导.这个极限值称为f(z）在zo的导数，dwf(zo +△z)-f(zo)记作f'(zo)lim=dzAzAz-0Z=Z0

一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义: , , ( ) , 0 0 点 点 不出 的范围 设函数 定义于区域 为 中的一 z z D w f z D z D    , ( ) . ( ) 0 0 的导数 那末就称 f z 在z 可导 这个极限值称为 f z 在 z . ( ) ( ) lim d d ( ) 0 0 0 0 0 z f z z f z z w f z z z z           记作 , ( ) ( ) lim 0 0 0 如果极限 存在 z f z z f z z      

陕西师聚大學陈数学与信息科学学院AANNC在定义中应注意：z+z→z(即△z→)的方式是任意的 即zo+△z在区域D内以任意方式趋于z,时f(zo +Az) - f(zo)比值都趋于同一个数，Az如果函数f(z)在区域D内处处可导，我们就称f(z）在区域内D可导

在定义中应注意: ( 0) . z0  z  z0 即z  的方式是任意的 . ( ) ( ) , 0 0 0 0 比值 都趋于同一个数 即 在区域 内以任意方式趋于 时 z f z z f z z z D z       , ( ) . ( ) 导 我们就称 在区域内 可导 如果函数 在区域 内处处可 f z D f z D

陕西师乾大學陈数学与信息科学学院SHAANXINORN例1 求f(z)= z的导数.f(z+△z)- f(z)解f'(z) = limAzAz→0(z+ z)? - z?: limAzAz→0= lim(2z + Az) = 2z.Az-0注(z) =2z

例1 ( ) . 求f z  z 2的导数 z f z z f z f z z         ( ) ( ) ( ) lim 0 解 z z z z z        2 2 0 ( ) lim lim(2 ) 0 z z z       2z. (z ) 2z 2   注

陕西师大學陈数学与信息科学学院HANXNO例2 讨论f(z)=Im z的可导性,ff(z+△z)-f(z)Im(z + △z)- Imz解AzAzAzIm △zIm z + Im Az - Im zAzAzAyIm(△x + iAy)Ax +iAyAr+iAy当点沿平行于实轴的方向（Ay=0）而使△z→0时

例2 讨论f (z) Im z的可导性. z f z z f z z f        ( ) ( ) 解 z z z z      Im( ) Im z z z z      Im Im Im z z    Im x i y x i y        Im( ) , x i y y      当点沿平行于实轴的方 向(y  0)而使z  0时