陕西师報大學乐数学与信息科学学院2SHAANXNORMAIUNIVEF第三节初等函数一、指数函数二、对数函数三、乘幂αb与幂函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数六、小结与思考
第三节 初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考
陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANINORMAL指数函数1.指数函数的定义：当函数f(z)在复平面内满足以下三个条件：(1) f(z)在复平面内处处解析:(2) f(z) = f(z);(3)当Im(z)= 0时, f(z)=e',其中x = Re(z)此函数称为复变数z的指数函数，记为expz=e'(cosy+isiny)
一、指数函数 1.指数函数的定义: 当函数 f (z) 在复平面内满足以下三个条件 : (1) f (z)在复平面内处处解析; (2) f (z) f (z); (3) Im(z) 0 , f (z) e , x Re(z). x 当 时 其中 exp (cos sin ) , z e y i y z x 此函数称为复变数 的指数函数 记为
陕品师聚大學陈数学与信息科学学院SHAANX指数函数的定义等价于关系式：I expz [=e*,(其中k为任何整数)Arg(expz)= y +2kπ,指数函数expz可以用e来表示。e"=e"(cos y+isin y)注意e没有幂的意义，只是代替expz的符号注：(1)f(z)=e的定义域为C;(2)f(z)=e'的值域C\(0};(3) (e)= e
指数函数的定义等价于关系式: ( ) Arg(exp ) 2 , | exp | , 其中k为任何整数 z y k z e x 指数函数 exp 可以用 来表示. z z e e e (cos y isin y) z x 注意 e 没有幂的意义,只是代替 expz的符号. z ( ) . ( ) : ( ) z z z z e e f z e f z e (3) (2) C \{0}; (1) C; 的值域 注 的定义域为
陕品师乾大学陈数学与信息科学学院HOANXIN2.加法定理expz1 :expz2 = exp(zi + z2)证 设 z=xi+iyi, zz =X,+iy2,左端=expz·expz2= e*(cos y +isin yr).e*2(cos y2 +isin y2)= e*++2[(cos yi cos y2 - sin yi sin y2)]+ i[(sin yi cos y2 + cos yi sin y2)]=e*i+x2[cos(yi + y2)+ isin(yi + y2)]=exp(z+z2)=右端
2. 加法定理 exp exp exp( ) 1 2 1 2 z z z z 证 , , 1 1 1 2 2 2 设 z x iy z x iy 1 2 左端 expz expz (cos sin ) (cos sin ) 1 1 2 2 1 2 e y i y e y i y x x [(sin cos cos sin )] [(cos cos sin sin )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 i y y y y e y y y y x x [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 2 e y y i y y x x exp( ) . z1 z2 右端
陕西师聚大学乐数学与信息科学学院HAANXIN根据加法定理,可以推出 expz的周期性expz的周期是2k元i，即 ez+2kni =e".e2kri=e．(其中k为任何整数)该性质是实变指数函数e*所没有的。例1 设 z=x+iy,求(1) lei-22; (2)e"; (3)Re(e-);解因为e"=e*+i =e*(cosy+isin y)所以其模e"=e，实部Re(e"）=e*cosy
根据加法定理,可以推出 expz的周期性, expz的周期是2ki, . z 2k i z 2k i z e e e e 即 (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数 所没有的. x e 例1 , (1) ; (2) ; (3)Re( ); 1 2 2 i z z z z x iy e e e 设 求 解 e e e (cos y isin y) z x iy x 因为 e e , Re(e ) e cos y. z x z x 所以其模 实部