复旦大学：《离散数学 Discrete Mathematics（下）》英文课件（赵一鸣）28/32

§3谓词演算的形式证明 ■一、形式证明 P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示 定义2114:称A=A1UA2UA3UA4UA5中的所有元 素为Pred(Y)上的公理集。其中: A1={p→(q→p川|pq∈P(Y)}; A2=(p→(q→r)→(p→q)(p→r)p,q,r∈P(Y} A3={→→p→p|p∈P(Y)} A4={vX(|p→q)→(p→Vxq)|p,q∈P(Y Xgvar(p) A5={vXp(x)p(t)p(x)∈P(Y)项划对p(x)中的x是自由的

§3 谓词演算的形式证明  一、形式证明  P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示  定义21.14：称A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5 中的所有元 素为Pred(Y)上的公理集。其中： A1={p→(q→p)|p,qP(Y)}； A2={(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))|p,q,rP(Y)}； A3={p→p|pP(Y)}。 A4={x(p→q)→(p→xq)|p,qP(Y),xvar(p)} A5={xp(x)→p(t)|p(x)P(Y),项t对p(x)中的x是自由的}

除了MP规则外,还要用一个推理规则, 这个规则在以后的论证中常会用到:对 任意的x证明了p(x),则有xp(x)成立。 这个推理规则称为全称推广规如,它使 得在对一般的x证明了p(x)后,可推出 xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔 细地陈述限制。全称推广规则也称为G 规则

 除了MP规则外，还要用一个推理规则， 这个规则在以后的论证中常会用到：对 任意的x证明了p(x)，则有xp(x)成立。 这个推理规则称为全称推广规则，它使 得在对一般的x证明了p(x)后，可推出 xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔 细地陈述限制。全称推广规则也称为G 规则

定义21.15:设p∈PY),AP(Y),由假设 A寻出的长度为的证明是一组有限序 列p1…,Pn,这里p∈PY)(i=1,,n), pn=p,而p1…,pn1是长度为n1的由A导 出pn的证明序列,并且:对所有k≤n, (1)pk∈AUA,或者 (2)存在(k),有P=(p1→p。或者 (3)pk=Vxw(x),并且P1…,pk的某个子序 列pk,,pk是一个由A的子集 A( XEvar(A导出W(x)的证明长度小于

 定义21.15:设pP(Y)，AP(Y)，由假设 A导出p的长度为n的证明是一组有限序 列 p1 ,…,pn，这里piP(Y)(i=1,…,n)， pn=p，而p1 ,…,pn-1是长度为n-1的由A导 出pn-1的证明序列，并且：对所有kn， (1)pkA∪A，或者 (2)存在i,j(i,j<k)，有pi=(pj→pk )。或者 (3)pk=xw(x)，并且p1 ,…,pk-1的某个子序 列pk1 ,…,pkr 是一个由A的子集 A0 (xvar(A0 ))导出w(x)的证明(长度小于 n)

如果存在一个由A导出p的证明,则记为 AFp,且用DedA)表示满足AFp所有p的全 体。对于D}p,简写为卜p,并称p为 Pred)的定理。 a例3 K-p)lVxp,pePY 根据定义,3X→p就是Vx-p p1=1VX-1-p 假设 p2=VXp→X-p p3=VX-1-p p1, p2 MP p4=yX_→p→-p p5=-m"p p3, P4 MP pe p→→p 3 p7=p 5,p6 MP pa=VXp p7G规则(Xvar({x→P})

 如果存在一个由A导出p的证明，则记为 A┣p，且用Ded(A)表示满足A┣p所有p的全 体 。 对 于 Ø ┣ p， 简写为 ┣ p， 并 称 p 为 Pred(Y)的定理。  例:{xp}┣xp, pP(Y)  根据定义，xp就是xp。  p1=xp 假设  p2=xp→xp A3  p3=xp p1 , p2 MP  p4=xp→p A5  p5=p p3 , p4 MP  p6=p→p A3  p7=p p5 , p6 MP  p8=xp p7 G规则(xvar({xp}))

例:设 yEar(p(x),且p(x)中的自由变元 x不会出现在0y的辖域中。证明: vxp(xvyp(y),这里p(x)∈P(Y

 例: 设yvar(p(x))，且p(x)中的自由变元 x不会出现在y的辖域中。证明： {xp(x)}┣yp(y)，这里p(x)P(Y)