有∫(x+1)=∫(x),称∫(x)为周期函数,/是∫(x)的一个周期,l是,k都是。最小周 期简称为周期。 但也有的函数没有最小周期,想一想,你能找一个这样的例子吗? 双曲函数 y=sh(x) =ch(r)=e+e-r 悬链线 y=th(x) sh(x)e ch(x)e+e 性质ch2(x)-sh2(x)=1 对照 cosx+sin - x=1 ch(x)+sh"(x)=ch(2x) cos x-sin x=cos(2x) sh(2x)=2sh(x )ch(x) sin( 2x)=2 sin xcos x 令X=ch(x),Y=sh(x),则它们满足双曲方程X2-y2=1,这是双曲函数名称 的由来的原因之一。在单位圆盘上的非欧几何一一双曲几何(俄国人称为罗巴切夫几何 西方称为 Poincare几何)。双曲函数是基本的函数论工具。 反双曲函数反双曲正弦:y=sh-x 反双曲余弦:y=ch-x,只在右半平面上存在 反双曲正切:y=thx
6 有 f (x + l) = f ( x) ，称 f (x) 为周期函数， l 是 f (x) 的一个周期， l 是， kl 都是。 最小周 期简称为周期。 但也有的函数没有最小周期，想一想，你能找一个这样的例子吗？ 双曲函数 2 ( ) x x e e y sh x - - = = 2 ( ) x x e e y ch x - + = = 悬链线 x x x x e e e e ch x sh x y th x - - + - = = = ( ) ( ) ( ) 性质 ( ) ( ) 1 2 2 ch x - sh x = 对照 cos sin 1 2 2 x + x = ( ) ( ) (2 ) 2 2 ch x + sh x = ch x cos sin cos(2 ) 2 2 x - x = x sh(2x) = 2sh(x)ch( x) sin( 2x) = 2 sin x ×cos x 令 X = ch(x) , Y = sh(x) , 则它们满足双曲方程 1 2 2 X -Y = ，这是双曲函数名称 的由来的原因之一。 在单位圆盘上的非欧几何——双曲几何（俄国人称为罗巴切夫几何， 西方称为 Poincaré几何）。双曲函数是基本的函数论工具。 反双曲函数 反双曲正弦: y sh x -1 = 反双曲余弦： y ch x -1 = , 只在右半平面上存在 反双曲正切： y th x -1 = x y 0 0 x y 0 x y
基本初等函数看来并不简单,很多性质有待于我们进一步研究。一般的函数,其内涵更 为丰富。我们仅举一例 q2x-q3, 当其判别式△=q2-27q2≠0时,它可以看成两个函数y=√4x3-92x-q3和 y=-√4x3-q2x-q3拼起来的,而每一个函数,比如y=√4x3-q2x-q3又可看成 个多项式函数二=4x3-q2x-q3和一个幂函数y=2+复合起来的。它的图形如下 这里一条代数曲线,其中学问可谓大矣。由此展开的数学构成代数数论的基本框架, Fermat大定理的证明就源于此,可参考陆洪文的书“模形式和数论”。 §1.2函数的一般概念 设X是实数集的一个子集合,XcR,X中元素也称为变量,它可以表示力学 物理,工程乃至社会人文科学中的对象。一个变量的变化常常会引起另一个变量的变化, 这个关系通常用函数来表示。这一节中的函数是上一节初等函数的一般化。 定义给定X∈R,如果存在某种对应法则∫,使得对于X中任一元素x∈X,都 唯一确定的数y∈R与之对应,则称∫是从X到R的一个函数,记作∫:X→R。函 数∫在x点的值记作y=f(x),X称为函数∫的定义域,x称为自变量,y称为因变 量。从概念上讲,∫(即对应法则)是函数,∫(x)是函数值,两者是不同的。但它们是 相互决定的,今后在大部分场合,不加区分。但有些场合,如微分和微分形式概念中,必 需加以区分。 函数定义有两个要素(X,f),即定义域和对应法则。函数定义一经给定,其值域 f(X)={f(x):x∈H}R也就决定了,求函数的值域成为研究函数的第一个任务。 函数定义域应该是定义中给定的,无需去求。但习惯上,往往先有一个对应法则(通 常由一个公式给出),如无特殊要求,将使这个对应法则(公式)有意义的自变量范围理解 成定义域,这时就产生一个求函数定义域的问题,当然我们不能拒绝它。求函数定义域时 两条基本原则,即零不能做分母和负数不能开平方是要切记的。 7
7 基本初等函数看来并不简单，很多性质有待于我们进一步研究。一般的函数，其内涵更 为丰富。 我们仅举一例 2 3 2 3 y = 4x - q x - q , 当其判别式 27 0 2 3 3 D = q2 - q ¹ 时 , 它可以看成两个函数 2 3 3 y = 4x -q x -q 和 2 3 3 y = - 4x - q x - q 拼起来的，而每一个函数， 比如 2 3 3 y = 4x -q x -q 又可看成一 个多项式函数 2 3 3 z = 4x - q x - q 和一个幂函数 2 1 y = z 复合起来的。 它的图形如下 这里一条代数曲线，其中学问可谓大矣。 由此展开的数学构成代数数论的基本框架， Fermat 大定理的证明就源于此， 可参考陆洪文的书“模形式和数论”。 §1.2 函数的一般概念 设 X 是实数集的一个子集合， X Í R， X 中元素也称为变量， 它可以表示力学， 物理，工程乃至社会人文科学中的对象。 一个变量的变化常常会引起另一个变量的变化， 这个关系通常用函数来表示。 这一节中的函数是上一节初等函数的一般化。 定义 给定 X Í R，如果存在某种对应法则 f ，使得对于 X 中任一元素 x Î X ，都 唯一确定的数 y Î R 与之对应，则称 f 是从 X 到 R 的一个函数，记作 f : X ® R。函 数 f 在 x 点的值记作 y = f (x) ， X 称为函数 f 的定义域， x 称为自变量， y 称为因变 量。从概念上讲， f （即对应法则）是函数， f (x) 是函数值，两者是不同的。 但它们是 相互决定的，今后在大部分场合，不加区分。 但有些场合，如微分和微分形式概念中，必 需加以区分。 函数定义有两个要素(X , f ) , 即定义域和对应法则。 函数定义一经给定，其值域 f (X) = { f (x) : x Î X} Í R 也就决定了，求函数的值域成为研究函数的第一个任务。 函数定义域应该是定义中给定的，无需去求。 但习惯上，往往先有一个对应法则（通 常由一个公式给出），如无特殊要求，将使这个对应法则（公式）有意义的自变量范围理解 成定义域，这时就产生一个求函数定义域的问题， 当然我们不能拒绝它。 求函数定义域时 两条基本原则，即零不能做分母和负数不能开平方是要切记的