则5-5|≤bn-an,n=12… 由区间套定义(i)得 则5-5 (6-an)=0 m-200 故有5=5 证毕 °推论 若∈[a,bn=1,2,)是闭区间套{an所确定的点,则 VE>0,N∈N,Vm>N,有[an,bn]cU(2;E) 说明: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立
, 1,2, . 则x -x ' bn - an n = L 由区间套定义(ii)得 lim( ) 0, ' - - = → n n n 则x x b a . ' 故有 x = x 证毕. •推论 若x [a,b](n =1,2,)是闭区间套{[an ,bn ]} 所确定的点， 则 0, N N , n N, [a ,b ] U(x; ). + 有 n n 说明: 区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立
二聚点定理 定义 设S为数轴上的点集,为定点,(它可以属于S,也可以不属于S 若2的任何邻域内都含有S中无穷多个点则称为S的聚点 说明: 若存在各项互异的收敛数{xn}<S,则其极限 lim x=5称为S的聚点
二 聚点定理 •定义 设 S 为数轴上的点集, x 为定点,(它可以属于 S ,也可以不属于 S 若 x 的任何邻域内都含有 S 中无穷多个点,则称 x 为 S 的聚点. 说明: 聚点概念和下面两个定义等价: 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 S 的聚点. S x S x x (x; ) , 。 U 说明: 若存在各项互异的收敛数 ,则其极限 称为 的聚点. {xn } S = x → n n lim x S
定理( Weierstrass点定理) 实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点 定理的证明 因S为有界点集,故M>0,使得ScMM记a,b]=MM 现将a1b等分为两个区间,因S为无限点集,故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点,记此子区间为[a2,b2]则 a1,b]→{a2,b2l,且b2-a2=(b1-a1)=M 2 将a2b2等分成两个子区间,则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点,记其为a3,b3则 M a2,b2]→[a3,b3,且b3-a3=-(b2-a2)
S ， M 0, S [-M,M], [a ,b ] [-M,M] 因 为有界点集 故 使得 记 1 1 = •定理 (Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集 S 至少有一个聚点. •定理的证明 现将[a1 ,b1 ]等分为两个区间， 因S为无限点集， 故两个区间中至少 有一个含有S中无穷多个点， 记此子区间为 [a 2 ,b2 ],则 ( ) . 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 1 1 2 2 且 b2 - a2 = b1 - a1 = M 将[a 2 ,b2 ]等分成两个子区间， 则其中至少有一个子区间含有S中 无穷多个点， 记其为[a3 ,b3 ],则 . 2 ( ) 2 1 [a ,b ] [a ,b ], 2 2 3 3 3 3 2 2 M 且 b - a = b - a =