第七节 第九章 方向导款局梯袁 一、方向导数 二、梯度 三、物理意义 HIGH EDUCATION PRESS 机动
第七节 第九章 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度
一、方向导数 定义：若函数f(x,y,2)在点P(x,y,z)处 沿方向1（方向角为口，口，口存在下列极限 lim of P(x,y,2） 0口0 Olim f(x口·x,yOy,z口z)口f(x,y,z)记作□/ 口口0 0 00(ǖx)2☐（☐y2(@z)2 □x□□cos口，Oy口0cos0,☐z▣□cosC 则称 1 为函数在点P处沿方向1的方向导数 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结球
一、方向导数 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作
定理：若函数f(x,y,z)在点P(x,y,2)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 cos▣▣ cos cos■ 国x y 其中口，☐，☐为1的方向角 证明：由函数f(x,y,z)在点P可微，得 P(x,y,2）〉 cos口[口o(▣) 故 lim cos cos▣ cos ▣▣0 HIGH EDUCATION PRESS 机动 回结束
定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故
对于二元函数f(x,y),在点P(x,y)处沿方向1（方向角 为口，口)的方向导数为 口1im/xOx,yy)Dfx,） ▣▣0 □fx(x,y)cosD□fv(x,y)cos□ (口口V(x)2口(C)2,x00cosD,口y0 Dcos) 特别： ·当1与x轴同向0，之时，有 ·当/与x轴反向口，口 时，有 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动 反回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为 , ) 的方向导数为 特别: • 当 l 与 x 轴同向 • 当 l 与 x 轴反向 向角
例1.求函数1☐x2yz在点P(1,1,1)沿向量1口(2，☐， 3)的方向导数 解：向量1的方向余弦为 2 3 cos口 cos 14 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录
例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为