第节 第九章 李元品款的教值及其球法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结味
第八节 第九章 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 定义：若函数z口f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)☐f(xo,yo)(或f(x,y)☐f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z口3x2☐4y2在点0,0)有极小值， 在点(0,0)有极大值， Z xy 在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动 回结束
一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1（必要条件）函数z口f(x,y)在点(x0,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,yo)☐0，f(x0,yo)☐0 证：因z口f(xy)在点(x,yo)取得极值，故 z口f(x,yo)在x口xo取得极值 z口f(xo,y)在y口y,取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点」 例如，z山xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2（充分条件）若函数z口f(x,y)在点(x0,y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)☐0，f(x0,o)☐0 令A口fxx(x0,yo),B口fxy(x0,yo),C口fyy(xo,yo) A<0时取极大值， 则：1)当AC□B2口0时，具有极值 A0时取极小值 2)当AC口B2☐0时，没有极值. 3)当AC口B2☐0时，不能确定，需另行讨论， 证明见第九节 HIGH EDUCATION PRESS 回结束
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节 . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,y)口x3☐y3☐3x2口3y2☐9x的极值 解：第一步求驻点： fx(xy)E3x2☐6xO9■0 解方程组 lf,(x,y)C☐3y2□6y☐0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B f(x,y)☐6x6,/(x,y)口0，fy(x,y)□6y口6 在点(1,0)处A☐12，B口0，C☐6， AC☐B2☐12☐6☐0，A□0， 口f(1,0)口口5为极小值； HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束