例3.设是曲面2x23y2口z2☐6在点P(1,1,1)处 指向外侧的法向量，求函数4D6r☐8) 在点P处沿 方向n的方向导数， 解：nL(4x,6y,2z)p☐2(2,3,1) 方向余弦为cos口□ 2 3 14 14 cos 14 6x 6 而 zV6x2☐8v2 14 8 同理得 0014 W14 11 6☐280314☐1[0 n P 14 HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回 结束
例3. 设 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数. 求函数 在点P 处沿 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、梯度 方向导数公式 cos 70口(cos0,co0s0,cosd LGoGi() 当0与G方向一致时，方向导数取最大值： max 这说明 G 方向：f变化率最大的方向 模：f的最大变化率之值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 返回结束
二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.定义 向量G称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient) 记作grad f,即 agg 同样可定义二元函数f(x,y)在点P(x,y)处的梯度 gn/n5g影 说明：函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 2.梯度的几何意义 HIGH EDUCATION PRESS 回
1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 向量 2. 梯度的几何意义
对函数z口f(x,y),曲线 》在oy西上的授 z口C 影L:f(x,y)口C称为函数f的等值线 设∫x,f不同时为零，则L上点P处的法向量为 (fx,fy)p□gradfp 同样，对应函数u口f(x,y,z) 有等值面（等量面）f(x,y,z)口C 当各偏导数不同时为零时，其上 点P处的法向量为grad fp, (设g1☐c2□c) 函数在一点的梯度垂直于该点等值面（或等值线）， 指向函数增大的方向. 季HIGH EDUCATION PRESS 机动 返回结束
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为函数 f 的等值线 . 则L *上点P 处的法向量为 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 指向函数增大的方向