第之节 第十一章 高斯公式 通量与漱度 推广 Green公式 Gauss公式 一、高斯公式 *二、 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十一章
高斯(Gauss)公式 定理1.设空间闭区域2由分片光滑的闭曲 面Σ所围成，Σ的方向取外侧，函数P,Q,R在 Ω上有连续的一阶偏导数，则有 dxdydz =Pdyd=+0d=dx+Rdxdy (Gauss公式 下面先证 瓜8船4dd:=其R43 HIGH EDUCATION PRESS 高斯目录上页下页返回结束
一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 , = Pd y d z + Q d z d x + Rdx d y x y z z R d d d = Rd x d y 下面先证: 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束
证明：设Q:z1(x,y)≤z(x,y)≤22(x,y),(x,y)∈Dy 为XY型区域，∑=∑1U∑2U∑3，∑1：=1(x,y) ∑2：2=2(x,y),则 r82ddd-ngdy7a =了D{R(x,y2(x,y)》 22 -R(x,y,z(x,y))dxdy 月Rdxdy=(,++s,)Rdxdy =j2RK,y,2x,y)ddy-小bR(x,y,(,y》dxdy HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
2 3 1 z y x Dxy R(x, y, ) − R(x, y, ) d x d y : ( , ), 1 1 z = z x y 证明: 设 , = 1 2 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1 = Dx y ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y Rd x d y = Dx y ( = 2 x y z z R d d d d x d y + 1 + 3 )R d x d y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2 z = z x y 则 R(x, y, )dxdy − Dx y = Dx y ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , )) d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
所以 0ddyd: Rdxdy 若Ω不是XY-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个XY一型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 04dy:=0,8 . 228.a:K0:8 三式相加，即得所证Gauss公式： 号 )d xd ydz "Oz =队Pddz+Qd=dx+Rdxd HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
所以 x y z z R d d d = Rd x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d = Pd y d z + Q d z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d + + = Qd z d x x y z x P d d d = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1.用Gauss公式计算月(x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平面：=0，z=3所围空间 闭域Ω的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用Gauss公式，得 原式=J川2（y-)dxdyd:-(用柱坐标 (rsino-=)rdrded= = ="dordrf(rsino-2)dz- 9元 2 思考：若Σ改为内侧，结果有何变化？ 若Σ为圆柱侧面取外侧，如何计算？ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y − z)d x d y d z = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0 = − 2 9 = − x 3 o z 1 y P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动 目录 上页 下页 返回 结束