第三节 第十一章 格林公式及其应用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十一章
格林公式 单连通区域（无洞” 区域 区域D分类 多连通区域（有“洞”区域 域D边界L的正向：域的内部靠左 定理1.设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数，则有 2-8yP+0,公 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束
L D 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 01(x)≤y≤p2(x) a≤x≤b D 1(y)≤x≤Ψ2(y) c≤y≤d 则器ud-w器r b =∫w2y)y)dy-∫wmy)dy =∫c®(x,yay-了cac(x,ydy =Cx,ydy+∫Ec0x,yaw HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d = d c Q( ( y), y )dy 2 ( ) ( ) 2 1 d y y x x Q = CBE Q(x, y)dy + EAC Q(x, y)dy − d c Q( ( y), y )dy 1 = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
即 ,2aa,-f0u 同理可证 -儿ad=fPew灿 ② ①、②两式相加得 是- HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( ) = + − D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 .照- )dxdy 器-器 -IPa+Ody(D,表示D,的正向边界) =f,Pax+Ody 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束
y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2 ( ) = − = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d − = = + n k Dk P x Q y 1 d d = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束