第二节 第十二章 常款项级赵的审敘法 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章
正项级数及其审敛法 00 若4，≥0，则称∑4n为正项级数 n= 定理1.正项级数》4n收敛二 部分和序列Sm n=. (n=1,2,.)有界 证：“一”若∑n收敛，则{Sn}收敛，故有界 n=1 :4n≥0，∴.部分和数列{n}单调递增 又已知{Sn}有界故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛 n=l HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、正项级数及其审敛法 若 0, n u n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束
00 定理2比较审敛法) 设∑4n,∑'n是两个正项级数 n=1n=1 且存在NeZ+,对一切n>N,有un≤kyn(常数k>0) 则有 (①)若强级数∑yn收敛，则弱级数∑”n也收敛： n=1 n=l 00 (2)若弱级数 ∑n发散，则强级数∑Vn也发散 n=1 n=1 证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨 设对一切neZ+,都有un≤kvn, 令S,和on分别表示弱级数和强级数的部分和，则有 HIGH EDUCATION PRESS Oe0C08 机动目录上页下页返回结束
都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Sn≤kon 00 (1)若强级数∑yn收敛，则有o=1imon n-→o0 n=1 因此对一切neZ,有Sn≤ko 由定理1可知，弱级数∑4n也收敛 n=1 (2)若弱级数∑4n发散，则有1imSn=∞， n=] n→0 因此1imon=o,这说明强级数∑'n也发散 n→0 n=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 下页返回结
(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.讨论p级数1+ 2P 的敛散性 解：1)若p≤1，因为对一切n∈Z, 而调和级数∑发散，由比较审敛法可知p级数∑ n=] n= 发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束