2拉格朗日型余项的泰勒公式 假设函数f(x)在点x0∈(a,b)有1到n+1阶导 数,则x∈(a,b),有 f(x)=f(x)+f(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x)2 2 +f((x0)(x-x0 十 (n+1) ()(x-x0)1 (n+1) 其中ξ是介于x与x之间的某个点。 2021/2/20
2021/2/20 11 2.拉格朗日型余项的泰勒公式 其 中 是介于 与 之间的某个点。 数，则 有 假设函数 在 点 有 到 阶 导 x x f x x n f x x x n f x f x f x x x f x x x x a b f x x a b n n n n n 0 1 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 0 ( )( ) ( 1)! 1 ( )( ) ! 1 ''( )( ) 2! 1 ( ) ( ) '( )( ) ( , ), ( ) ( , ) 1 1 + + − + + + + − = + − + − +
3常用的麦克劳林公式 0 0,皮亚诺型余项 1)e2=1+x+x2+…+=x"+0(x") 2 ≤iny=x P×- +(-1)41x2k-1 2k folx 5! (2k-1)! 3)cosx=1-x 2 X 2K 2k 十 十 tox 2!4! (2k)! 2021/2/20 12
2021/2/20 12 3.常用的麦克劳林公式 ( ) ! 1 2! 1 1) 1 x 2 n n x o x n e = + x + x ++ + ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! 2)sin 2 2 1 1 3 5 k k k o x k x x x x x + − = − + − + − − − ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 3)cos 1 2 2 4 2 k k k o x k x x x x = − + −+ − + ( 0 ) x0 = ，皮亚诺型余项
4)ln(1+x)=x × +(-1) n-1dC n 0(x nk 5)(1+x)=1+ax+ a(a-1)2 x十 2 +(a-1).(a-1)…(a-n+1) x"+o(x") 1+x+x2+…+x"+o(x") 1-x 2021/2/20 13
2021/2/20 13 ( ) ! ( 1) ( 1) ( 1) 2! ( 1) 5)(1 ) 1 2 n n x o x n n x x x + − − − + + + − + = + + ( ) ! ( 1) 2 3 4)ln(1 ) 1 2 3 n n n o x n x x x + x = x − + − + − + − 1 ( ) 1 1 6) 2 n n x x x o x x = + + + + + −
要求 1掌握函数在一点的泰勒公式 2会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式 3能利用泰勒公式求某些函数的极限 4利用泰勒公式证明不等式 5利用泰勒公式作近似计算 6利用泰勒公式进行级数判敛 2021/2/20
2021/2/20 14 4.利用泰勒公式证明不等式 5.利用泰勒公式作近似计算 要求 1.掌握函数在一点的泰勒公式 2.会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式 3.能利用泰勒公式求某些函数的极限 6.利用泰勒公式进行级数判敛
六不定积分 (-)基本概念 1原函数 若在区间上F(x)=f(x),则称F(x) 是f(x)在区间/上的一个原函数 2不定积分 f(x)的全体原函数(x)+C,(C为 任意常数)称为(x)在区间上的不定积分 记作「f(x)dx=F(x)+C 2021/2/20 15
2021/2/20 15 六.不定积分 (一)基本概念 1.原函数 是 在区间 上的一个原函数。 若在区间 上 ，则称 f x I I F x f x F x ( ) '( ) = ( ) ( ) 2.不定积分 = + + f x dx F x C f x f x F x C C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 记 作 任意常数）称为 在区间上的不定积分， 的全体原函数 ， （ 为