定理6.3.2设有理函数叫)是真分式,多项式(x)有重共轭复 q(x) 根B±iy,即q(x)=(x2+22x+n2)q*(x),q*(B±1)≠0,其中5=-B, n2=B2+y2(2<n2)。则存在实数,v和多项式p*(x),p*(x)的次数 低于(x2+25x+n2)q*(x)的次数,成立 p(r) Aa+v p(x q(x)(x2+2x+m2)(x2+2x+m -1a*(x
定理 6.3.2 设有理函数 )( )(xq xp 是真分式，多项式 xq )( 有l重共轭复 根 β ± iγ ,即 )(*)2()( 2 2 xqxxxq l ++= ηξ ， q*( i ) 0 β ± γ ≠ ，其中 ξ = −β ， 222 += γβη （ 22 < ηξ ）。则存在实数μ,ν 和多项式 xp )(* ， xp )(* 的次数 低于 )(*)2( 2 12 xqxx l− ++ ηξ 的次数，成立 )(*)2( )(* )( )2( )( 2 2 2 12 xqxx xp xx x xq xp l l− ++ + ++ + = ηξ ηξ μ ν
定理6.3.2设有理函数D(x是真分式,多项式x)有1重共轭复 q(x 根B±iy,即q(x)=(x2+22x+n2)q*(x),q*(B±1y)≠0,其中5=-B, n2=B2+y2(2<n2)。则存在实数,v和多项式p*(x),p*(x)的次数 低于(x2+25x+n2)q*(x)的次数,成立 p(r) ua tv p(x q(x)(x2+2x+m2)(x2+2x+m2)q*(x) 证令 P(B+iy) (B+1y)+v 9(B+ir 其中u,v为实数,则 p(B-in) (B-1y)+ (B-1y) 于是x=B±订y是多项式p(x)-(Aax+v)q*(x)的根,设 p(x)-(a+v)q*(x)=(x2+25x+n2)p*(x), 就得到 p(x) Ⅸ+V q(x)(x2+25x+n2)(x2+25x+n2)2q*(x)
证 令 ( i) ( i) *( i ) p q β γ μ βγν β γ + = + + + ， 其中 μ,ν 为实数，则 ( i) ( i) *( i ) p q β γ μ βγν β γ − = − + − ， 于是 x = β ± iγ 是多项式 − μ + ν xqxxp )(*)()( 的根，设 − μ + ν xqxxp )(*)()( = )(*)2( 2 2 ++ ηξ xpxx ， 就得到 )(*)2( )(* )( )2( )( 2 2 2 12 xqxx xp xx x xq xp l l− ++ + ++ + = ηξ ηξ μ ν 。 定理 6.3.2 设有理函数 )( )(xq xp 是真分式，多项式 xq )( 有 l重共轭复 根 β ± iγ ,即 )(*)2()( 2 2 xqxxxq l ++= ηξ ， q*( i ) 0 β ± γ ≠ ，其中 ξ = − β ， 222 += γβη （ 22 < ηξ ）。则存在实数 μ,ν 和多项式 xp )(* ， xp )(* 的次数 低于 )(*)2( 2 12 xqxx l− ++ ηξ 的次数，成立 )(*)2( )(* )( )2( )( 2 2 2 12 xqxx xp xx x xq xp l l− ++ + ++ + = ηξ ηξ μ ν
重复应用定理6.3.1与6.3.2,可将有理涵数 pm(x) pm(x) 4(x)(x-a1)"2+25x+m k=1 分解成简单分式之和,分解的规律是:若q,(x)含有因子(x-a1),则 在和式中就有项 k2 λm x-ar (x-a (x-an) 若q(x)含有因子(x2+2x+n2),则在和式中就有项 x+k kI uk,xtve k2 ukn xtv x+25 x+n(x+25x+n) (x2+25kx+7k) x+v =∑∑"+∑∑ (x X-C (x +25 x+nk) 其中λ、以、v可以用待定系数法具体算出来
重复应用定理 6.3.1 与 6.3.2，可将有理函数 p x q x m n ( ) ( ) ∏∏= = ++⋅− = j k n kk i k m k m k k x xx xp 1 2 2 1 )2()( )( α ηξ 分解成简单分式之和，分解的规律是：若q x n ( )含有因子 mk k x − α )( ，则 在和式中就有项 k k x α λ − 1 , 2 2 )( k k x α λ − ,…, k k m k mk x α )( λ − ； 若q x n ( )含有因子 k n kk xx )2( 2 2 ++ ηξ ，则在和式中就有项 2 2 11 2 kk kk xx x ηξ μ ν ++ + , 2 22 2 2 )2( kk kk xx x ηξ μ ν ++ + ,…, k k k n kk nknk xx x )2( 2 2 ηξ μ ν ++ + 。 即 p x q x m n ( ) ( ) ∑∑ ∑∑ = = = = ++ + + − = j k n r r kk rkrk i k m r r k rk k k xx x x 1 1 2 2 1 1 ηξ )2()( μ ν α λ ， 其中 λ μ 、、 ν rkrkrk 可以用待定系数法具体算出来
由不定积分的线性性质,即知 ∫asa=∑∑ X+y (x-a,) +∑∑ 25kx+) 它所涉及的不定积分只有两种类型
由不定积分的线性性质，即知 ( ) ( ) m n p x x q x ∫ d 2 2 1 1 1 1 ( ) (2 ) m n k k i j kr kr k r r r k r k k k r k x x x x xx μ ν λ = = α ξ = = η + = + − + + ∑∑ ∑∑ ∫ ∫ d d ， 它所涉及的不定积分只有两种类型：
由不定积分的线性性质,即知 「2ax=∑∑列 X+v k=l r=l (x-a)y台(x2+25x+ny 它所涉及的不定积分只有两种类型: (n≥1) (x-a 在例6.2.1,我们已经得到 In x-a+C +C.n≥2 x-a
⑴ ( )n x x −α ∫ d （n ≥ 1）。 在例 6.2.1，我们已经得到 1 ln| | , 1, 1 1 ( ) , 2. 1( ) n n xC n x x C n n x α α α − ⎧ −+ = ⎪ = ⎨ − −⋅ + ≥ ⎪⎩ − − ∫ d 由不定积分的线性性质，即知 ( ) ( ) m n p x x q x ∫ d 2 2 1 1 1 1 ( ) (2 ) m n k k i j kr kr k r r r k r k k k r k x x x x xx μ ν λ = = α ξ = = η + = + − + + ∑∑ ∑∑ ∫ ∫ d d ， 它所涉及的不定积分只有两种类型：