下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。 设随机变量序列X1,X2;…,Xn,相互独立, 记 X1+X2+…Xn=∑ 当n无限增大时,Y的极限分布是什么呢? 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞,故我们不研究n个随 机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 ∑X-EC∑X) i=1 Y-E(Y DC∑X) DOY) 的分布函数的极限 东工业大学
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随 机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限。 设随机变量序列 X1 , X2 , , Xn , 相互独立， 记 Yn = X1 + X2 ++ Xn 当n无限增大时， Yn 的极限分布是什么呢？ ( ) ( ) 1 1 1 = = = − = n i i n i i n i i n D X X E X Z = = n i Xi 1 ( ) ( ) n n n D Y Y − E Y =
、中心极限定理 1、李雅普诺夫中心极限定理 设随机变量X1,X2,相互独立,具有数学期望和方差: E(X)=HD(X;)=a2>0i=1,2, 记B2=∑a,若存在正数δ,使得当n→>时,有 1EX1-→>0 2+6 ∑X-∑ 则有mPan25x)=o(x)=「 a√2丌 即,n充分大时,有 ∑X-∑共近仅她 N(0,) B
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 1、李雅普诺夫中心极限定理 则有 设随机变量 X1 , X2 , 相互独立，具有数学期望和方差： E Xi = i ( ) ( ) 0 2 D Xi = i i = 1,2, 记 , 1 2 2 = = n i Bn i 若存在正数 ，使得当 n → 时，有 = + + − → n i i i n E X B 1 2 2 {| | } 0 1 n ~ n i i n i i B X = = − 1 1 近似地 N(0,1) lim { } 1 1 x B X P n n i i n i i n − = = → =(x) e dt t x / 2 2 2 1 − − = 即，n 充分大时，有 二、中心极限定理
、中心极限定理 1、李雅普诺夫中心极限定理 即,n充分大时,有 ∑X-∑山近级炮 i=1 N(0,1) B 有∑X=B,Zn+∑A,则当n充分大时,有 ∑X=B2n+2~NC∑A,B,) 定理说明:无论各个随机变量服从什么分布,只要满足定理± 的条件,那么当n很大时,它们的和就近似服从正态分布
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 n ~ n i i n i i B X = = − 1 1 近似地 N(0,1) 即，n 充分大时，有 Zn ~ 近似地 ( , ) 1 n n i N i B = 则当n 充分大时，有 = = = + n i n n i n i Xi B Z 1 1 有 , 1 1 = = = + n i n n i n i Xi B Z 定理说明：无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理 的条件，那么当n很大时，它们的和就近似服从正态分布。 二、中心极限定理 1、李雅普诺夫中心极限定理
2、林德伯格-列维定理(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且具有数学期 望和方差:E(X)=A,D(X)=a2>0(k=1,2,…),记 ∑X-EC∑x)∑x Y==1 n ∑X 的分布函数为F(x),则对任意实数x,有 ∑X lim F(x)=limPid ≤x}=Φ(x) n→>0 2兀 东工业大学
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 lim { } ( ) 1 x x n X n P n i i n = − = → 2、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量 X1 , X2 , , Xn , 独立同分布，且具有数学期 望和方差： ( ) , ( ) 0( 1,2, ), E Xk = D Xk = 2 k = 记 ( ) ( ) 1 1 1 = = = − = n i i n i i n i i n D X X E X Y n X n n i i − = =1 的分布函数为 Fn (x) ，则对任意实数x，有 = → limF (x) n n e dt t x / 2 2 2 1 − − =