《高等数学》课程教学资源：第四章 不定积分（4.2）换元积分法

例6求 d x2-8x+25 解 odx 8x+25 (x-4)2+9 x-4)2 3 +1 +1 3 3 arctan 3 3

例6 求 . 8 25 1 2 dx x x  − + 解 dx x x  − 8 + 25 1 2 dx x  − + = ( 4) 9 1 2 dx x   +      − = 1 3 4 1 3 1 2 2       −  +      − =  3 4 1 3 4 1 3 1 2 x d x . 3 4 arctan 3 1 C x + − =

☆例7求1e Te-e 解 dx 1+e 1+e e dx= dx 1+e 1+e d(1+e) 1+e =x-In(l+e )+C

例7 求 . 1 1 dx e  x + 解 dx e  x 1+ 1 dx e e e x x x  + + − = 1 1 dx e e x x        + = − 1 1 dx e e dx x x   + = − 1 (1 ) 1 1 x x d e e dx + + =  − x ln(1 e ) C. x = − + +

☆例8求(1-12)ed 解 (1--2)edx =Je id(x+ =e *+C

例8 求 ) . 1 (1 1 2 e dx x x x  + − 解 , 1 1 1 2 x x x = −         + e dx x x x  +  − 1 2 ) 1 (1 ) 1 ( 1 x e d x x x = +  + . 1 e C x x = + +

☆例9求∫ 2x+3+√2x-1 √2x+3-√2x-1 原式= 2x+3+√2x-1X2x+3-2x-1 =[√2x+3 √2x-1x 8 ∫2x+3M(2x+3)-8J2x-1(2x-1) 8 (2x+3)-1(2x-1)+C

例9 求 . 2 3 2 1 1 dx x x  + + − 原式 ( )( ) dx x x x x x x  + + − + − − + − − = 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 x dx x dx   = + − 2 − 1 4 1 2 3 4 1 2 1 (2 1) 8 1 2 3 (2 3) 8 1 = + + − − −   x d x x d x ( ) ( 2 1) . 12 1 2 3 12 1 3 3 = x + − x − + C

☆例10求∫ 1+cos x 解 d x - cos dx 1+cosx J(1+c0s x) 1-cos x dx 1-cos x 2 sIn dx 2 d(sin x) SIn sIn =-cotx+ +C. SInd

例10 求 解 . 1 cos 1  + dx x  + dx 1 cos x 1 ( )( )  + − − = dx x x x 1 cos 1 cos 1 cos  − − = dx x x 2 1 cos 1 cos  − = dx x x 2 sin 1 cos   = − (sin ) sin 1 sin 1 2 2 d x x dx x . sin 1 cot C x = − x + +