三、方向导数的计算 定理如果函数=f(X,y)在点P(x,y是可微分 的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都 存在,且有99 cOS+”S 其中卯为x轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 af f(x+Mr,y+y)-f(x,y)=Ax+y Ay+o(p) ax 两边同除以p,得到 上一页下一页现回
证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o() y f x x f f x x y y f x y + + + + − = 两边同除以 , 得到 三、方向导数的计算 定理 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向L 的方向导数都 存在，且有 ， 其中 为 x 轴到方向L 的转角． cos sin y f x f l f + =
f(x+△x,y+4y)-f(x,y)可Ax可fA,O() ax p Yep 故有方向导数 of f(x+Ax,y+Ay)-fc al p-0 了f Cospp+sin pp ax 上一页下一页返回
cos sin ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f + + = + + − 故有方向导数 ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f + = = l f
例1求函数乙=xe2在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,1)的方向的方向导数 解这里方向7即为PQ={1,1} 故x轴到方向的转角φ T z 2 e xe 2 Ox(:0) (1,0) (1,0) (1,0) 所求方向导数 元 元 2 COS(-)+2sin(-,)= 上一页下一页现回
例 1 求函数 y z xe 2 = 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,−1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向l r的转角 4 p = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos( p p = − + − l z . 2 2 = − 这里方向 l r 即为 PQ = {1,−1}
例2求函数∫(x,y)=x2-xy+y在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零? 解由方向导数的计算公式知 f (1, 1)cos a+f(1,1)sina =(2x-y)au cos a+(2y-x) an sina 上一页下一页返回
(1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = + 解 由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y + y − x 例2 求函数 在点 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l r 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 2 2 f (x, y) = x − xy + y (1,1)