例如f(x)={e,x≠0 0,x=0 王在x0点任意可导,且"(0=0(=0.2,-) 庄:/x)麦氏级数为∑0x 该级数在(-0,+∞内和函数s(x)≡0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x) 上或
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
王定理2f(在点x的泰勒级数在U(x内收 敛于/()÷在Ux内mR(x)=0 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, sT. f(rl-nf(xo) 20g"(x-x0)y+R,(x) Rn(x)=∫(x)-Sn+1(x),":! lim s+1(x)=∫(x) n→ lim rn()=limlf(x)-smi()=0; n→0 上或
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;
充分性∵f(x)-Sn1(x)=Rn(x limlf(r)-sm+1(x)=lim R,(x)=0, n1→0 n→0 c即 I lims1(x)=f(x) n→0 王:∫(x)的泰勒级数收敛于fx) 庄定理3设()在()上有定义,M:0,对 Ⅴx∈(xn-R,x+R),恒有f(x)M (n=0,2,),则f(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x的泰勒级数 上或
充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数
证明 (n+1) (5) n 1 R,(x) (n+1) (x-x0)"sMt-. (n+1)! n+1 x∈(x0-R,x0+R) ∑,在(∞+∞收敛, m=(n+1)! n+1 lim nx-xn=0,故imR(x)=0 n)∞(n+1) n→0 x∈(x0-R,x0+R) 可展成点x的泰勒级数 上或
证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 + − + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + − = + n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 = + − + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R