由隐函数存在完理的条件承一元隐 函 自己算一下,z对x,y的 对偏导数是多少。 用 导,得 aFaF az aFaF aZ 0 0 OX y 0z Oy OF1z)∈C OF 又 z 0,由 z 日U(axOF其中F(ayOF Z
由隐函数存在定理的条件及一元隐 函数求导方法, 利用多元函数求导方法， 对方程 F(x, y, u) = 0 两边关于x , y求偏 导，得 = 0 + x z z F x F 由于 ( , , ) (U( , , )) , 0 0 0 1 F x y z C x y z 又 = 0 + y z z F y F ( , , ) 0 , Fz x0 y0 z0 由连续函数性质 U(( , )) , 0 0 x y 在其中 F(x, y, z) 0 , z z F x F x z = − z F y F y z = − 自己算一下，z 对 x , y 的 偏导数是多少
例 OF Xy z e e 函 OF 2+e 2 解 oZ (e-2≠0) OF dy ve xe,些=-2+e2 OF 故 OZ ox ye ye OX OF 2+e (e-2≠0)
求方程 − −xy e 2z + = 0 z e 所确定的 函数 z = z(x, y) 的偏导数。 解 令 F(x, y,z) = − −xy e , z e 则 = x F , xy ye − − 2z + = y F , xy xe − − = z F 2 , z − + e 故 z F x F x z = − z xy e ye − + − = − − 2 − 2 = − z xy e ye( − 2 0) z e z F y F y z = − z xy e x e − + − = − − 2 − 2 = − z xy e xe( − 2 0) z e 例
F+ veh 确定z=z(x,y), z 求 F+xyF2 解 OF OF =F+ yzF OX F+XZF2 OF 在片+x2F+xF F+XvF
设 F ( x + y + z, xyz ) = 0 确定 z = z ( x , y), 求 , xz , yz 其中， F C 1 。 解 = xF , 1 F2 F + yz = yF , 1 F2 F + xz = zF , 1 F2 F + xy = xz 1 F2 F + yz − 1 F2 F + xy = yz 1 F2 F + x z − 1 F2 F + xy 例
定理(隐i OF OF 确定一个 (X0) 且uo=f(X0),F
定理 (隐函数存在定理) 设 1. 2. 3. F(X , u)C 1 (U(X0 , u0 ))； F(X0 ) = 0； ( , ) 0 , Fu X0 u0 则方程 F(X, u) = 0 在 U(( )) X0 内唯 一确定一个函数 ( ) ( U( )) 0 1 u = f X C X 且 ( ) , 0 X0 u = f F(X, f (X )) 0。 请同学们自己将上面的隐函数存在 定理推广至一般的 n (i 元函数情形 1, 2, , n) u F x F x u i i = = −
三、由方程组确定的 隐函数的求导法
三、由方程组确定的 隐函数的求导法