《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十八章 隐函数定理及其应用

雅可比行列式l1=F(x12x2…xn)∈C(2) d(u O(F1,F2,…,Fn) O(x1x2,…xn)=O( n) OF1 OFI OFI 0x1 2 Ox aFA oF F 0x1 OX 2 ax aF aF F ax x

雅可比行列式 ( , , , ) ( ), 1 ui = Fi x1 x2  xn C  (i =1, 2,  , n) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 n n x x x u u u J     = = ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 n n x x x F F F     = 1 1 x F   2 1 x F   n x F   1 1 2 x F   2 2 x F   n x F   2 1 x Fn   n n x F   2 x Fn         

当所出现的函数均有一阶连续偏导数 时,雅可比行列式有以下两个常用的性质 O(1,l2,…,Ln)O(x,x2,…,xn) 0(x1,x2,,n )O( a(l4,l2,…,ln) O(1,2,…,tn) O(1,l2…,ln)O(x,x2,…,xn) 0(x1,x2,…,xn)O(1,2,…,tn)

当所出现的函数均有一阶连续偏导数 时，雅可比行列式有以下两个常用的性质： 1. 1. ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 =      n n n n u u u x x x x x x u u u     2. . ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n t t t x x x x x x u u u t t t u u u            =  

移项,得 aF dy of dz OF oy dx az dx ax oGdy ag dz OG ay dx az dx ox

设方程组    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 确定函数 z = z(x) , 求 , d d x y 。 x z d d , , 1 F GC 想一想，怎么做 ？ y = y(x) , 问题方程组中每个方程两边关于 1 x 求导：      +   x F +   x y y F d d 0 d d =   x z z F +   x G +   x y y G d d 0 d d =   x z z G 运用克莱满法则解此二元一次方程组 移项，得      +   x y y F d d =   x z z F d d x F   − +   x y y G d d =   x z z G d d x G   −

当 O(F,G )≠0时方程组有唯一解 O(F,G) a(F,G) (x,z) Vx dx a(F,G) X a(F,G) (y’,z) 这样我们实际上已找到了求方程组确 定的隐函数的偏导数的公式(之一)

当 0 ( , ) ( , )    y z F G 时，方程组有唯一解： = x y d d − ( , ) ( , ) x z F G   ( , ) ( , ) y z F G   = x z d d − ( , ) ( , ) y x F G   ( , ) ( , ) y z F G   这样我们实际上已找到了求方程组确 定的隐函数的偏导数的公式(之一)

OFOF a(F, G)Ox Oz (x,z) aG OG ax OFOF a(F,G)a (y’,z) OG aG aF OF 0y0 a(F, G) ay ax a(,x)aGaG

z G x G z F x F x z F G         =   ( , ) ( , ) x G y G x F y F y x F G         =   ( , ) ( , ) z G y G z F y F y z F G         =   ( , ) ( , )