元函数的 隐函数的求导法
一元函数的 隐函数的求导法 一
设F(x,y)=0确定隐函数y=f(x) 这是利用多元函数的偏导数求0 两边一元函数的隐函数导数的公式 af oF d 0 从而得到一元隐函数求导公式 OF OF ≠0 aF
设 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x)。 若 ( , ) , 1 F x y C 则对方程 两边关于 x 求导，得 F(x, y) = 0 0 d d = + x y y F x F 从而得到一元隐函数求导公式 ( 0 ) d d = − y F y F x F x y 这是利用多元函数的偏导数求 一元函数的隐函数导数的公式
例设x-2x+2=0,求 X 解令F(x,y)=xy-2x+2”,则 OF OF =y-2h2 OX avx+2h 2 故 OF oX y-2In 2 X OF x+21In 2 (x+2lh2≠0)
设 − 2 + 2 = 0 , x y x y 求 。 xy dd 解 令 ( , ) 2 2 , x y F x y = x y − + 则 = xF 2 ln 2 x y − = yF 2 ln 2 y x + 故 = xy dd = − yFxF 2 ln 2 2 ln 2 yx xy +− − ( + 2 ln 2 0 ) y x 例
、由一个方程确定 的隐函数的求导法
二、由一个方程确定 的隐函数的求导法
定理2隐函数存在定理) 设1.F(x,y,z)∈C(U(x0,y,z0); 2.F(x0,y,z0)=0; 3.F(x0,y0,z0)≠0, 则方程F(x,y,z)=0在U(x0,y)内唯 确定一个函数z=f(x,y)∈C((x,y) 且z0=f(x0,yo),F(x,y,f(x,y)=0
定理 2 (隐函数存在定理) 设 1. 2. 3. ( , , ) (U( , , )) ; 0 0 0 1 F x y z C x y z ( , , ) 0 ; F x0 y0 z0 = ( , , ) 0 , Fz x0 y0 z0 则方程 F(x, y, z) = 0 在 U(( , )) 0 0 x y 内唯一 确定一个函数 ( , ) (U( , )) 0 0 1 z = f x y C x y 且 ( , ) , 0 0 0 z = f x y F(x, y, f (x, y)) 0