第2节 第八章 二重积分的计算 在直角坐标系下二重积分的算法 二、在极坐标系下二重积分的算法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第2节 一、在直角坐标系下二重积分的算法 二、在极坐标系下二重积分的算法 二重积分的计算 第八章
在直角坐标系下二重积分的算法 定理1 由曲顶柱体体积的计算，当被积函数f(x,y)≥0 且在D上连续时，若D为X-型区域 y=02(x) p1(x)≤y≤p2(x) a≤x≤b Qay=(bx 则 ,/ndd-ag f(x,y)dy 定理2若D为 .w d Y-型区域 则aad=dctr x=v(v) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 O y ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y x d c 且在D上连续时, 当被积函数 f (x, y) 0 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y)dxdy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x 定理1 由曲顶柱体体积的计算, 若D为 X - 型区域 则 O ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x b x y D a x 定理2 若D为 Y - 型区域 c y d y x y D ( ) ( ) : 1 2 y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 d c 则 d y 一、在直角坐标系下二重积分的算法
当被积函数f(x,y)在D上变号时，由于 fx,)= f(x,y)+f(x,y)f(x,y)-f(x,y) 2 2 (x,y) 2(x,y)均非负 f()dxdy=)dxdy ∬n/cx,)dxdy 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于
特别：(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域 则有 )dxdy y=2(x) f(x,y)dy xW2(y） =ayrds b x 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若干 X-型域或Y-型域，则 n=八+∬o+n BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 x y O x y D O 特别: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X - 型域或Y - 型域 , = + + D D1 D2 D3 则
例s.2.1计算二重积分1=∬(x+)dxdy 其中D是矩形域D={(x,y)川1≤x≤2,0≤y≤3} 解法1先对y,后对积分： 1-a*ay-lw+片。d: =[3x*1=+=9 解法2先对x,后对积分 1-a,edx-l写*wy =I*]a-*好 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例8.2.1 计算二重积分 ( )d d , = + D I x y x y 其中D是矩形域 解法1 先对y，后对x积分： I = 2 1 d x + 3 0 (x y)d y = 2 1 d x = + 2 1 d 2 9 3x x 9. 1 2 2 9 2 3 2 = x + x = 0 3 2 2 y x y + 解法2 先对x，后对y积分： D ={(x, y)|1 x 2,0 y 3}. I = 3 0 d y + 2 1 (x y)d x = 3 0 d y = + 3 0 d 2 3 y y 9. 0 3 2 1 2 3 2 = y + y = 1 2 2 2 x y x +