第7节 第七章 事无蓟数的教值及其求法 一、 多元函数的极值 二、 多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第7节 一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 多元函数的极值及其求法
多无函数的极值 定义若函数z=f(x,y)在点P(x。,y。)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值 z=-√x2+y2在点(0,0)有极大值 z=xy在点0,0)无极值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 多元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z O x y z O x z O y (极小值)
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,y0)具有 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x,)=0,f(x,)=0. 证：因z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值，故 z=∫(x,yo)在x=xo取得极值 z=∫(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0. f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 具有 故
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(xo,o)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,f(x0,0)=0 令f(x,)=A,f,(x0%)=B,f(x,)=C, A<0时取极大值 则：(1)当4C-B2>0时，具有极值 A>0时取极小值 (2)当AC-B2<0时，没有极值， (3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: (1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. (2) 当 (3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) , f x x x0 y0 = A f x y x0 y0 = B f y y x0 y0 = C 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 且
例7.7.4求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点。 解方程组 [f(x,y)=3x2+6x-9=0 f,(x,y)=-3y2+6y=0 求得驻点为：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B x(xy)=6x+6,fx(x,y)=0,(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, ∴.f1,0)=-5为极小值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.7.4求函数 解: 第一步 求驻点. 求得驻点为: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = A 0