第1节 第九章 对孤长的曲线积分 对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 三、对弧长的曲线积分的推广 四、对弧长的曲线积分的应用举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第1节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 对弧长的曲线积分 第九章 三、对弧长的曲线积分的推广 四、对弧长的曲线积分的应用举例
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB,其线密度为4(x,y), (5,7,) 为计算此构件的质量，采用 是 分割，近似，求和，取极限 可得 M=lim∑4(，n,)A, 201 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 A B 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “分割, 近似, 求和, 取极限” 可得 ( , ) . 1 = n i i i i M = s 为计算此构件的质量, i s Mi−1 Mi ( , ) i i 1.引例 曲线形构件的质量 采用
2.对弧长的曲线积分的定义 设L=AB为xO平面内的一条光滑曲线，函数x,y) 是定义在L上的有界函数.在L上任意插入分点 A=M,M1,M2,.,M-1,M=B, 将L分成n个小段，记△s,=M,-M,(i=1,2,…,n),同时 △s也表示其长度.在△s,上任取一点(5，)，作乘积 5n)△s,(i=1,2,.,n,并作和式 ∑f5,7)As, 记2=max{△s,},如果不论如何分割及（飞，n如何选 1≤isn 取，极限 lim ∑f(5,n,)△s, 2>0 i=1 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2.对弧长的曲线积分的定义 A＝M0，M1，M2，…，Mn-1，Mn ＝B， 设 为xOy平面内的一条光滑曲线，函数f(x，y) 是定义在L上的有界函数．在L上任意插入分点 L AB = 将L分成n个小段，记 ，同时 Δsi也表示其长度．在Δsi上任取一点(ξi ,ηi )，作乘积 f(ξi ,ηi )Δsi (i＝1,2，…，n)，并作和式 记 ，如果不论如何分割及(ξi ,ηi )如何选 取，极限 1 ( 1,2, , ) i i i s M M i n = = − 1 ( , ) . n i i i i f s = 1 =max{ }i i n s 0 1 lim ( , ) n i i i i f s → =
都存在，则称此极限值为函数x,y)在曲线L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作∫f(x,y)d,即 fx,yds=lm∑f5,n)△ 1-0 其中(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 都存在，则称此极限值为函数f(x,y)在曲线L上对弧长 的曲线积分或第一类曲线积分，记作 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线. ( , ) , d L f x y s 即 0 1 ( , ) lim ( , ) . d n i i i L i f x y s f s → = =
3.对弧长的曲线积分的性质 付x,ds=k∫，fx,y)d(为常数. 2)∫Lf(x,)±8，yds=Jfx,ds±，8x,ds (dsds+ds ( BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 3.对弧长的曲线积分的性质 (1) ( , )d ( , )d L L kf x y s k f x y s = （k为常数); (2) ( , ) ( , ) d ( , )d ( , )d ; L L L f x y g x y s f x y s g x y s = 1 2 1 2 (3) ( , )d ( , )d ( , )d ( ). L L L f x y s f x y s f x y s L L L = + = +