第3为 第八章 二重积分的在用 一、 曲面的面积 二、 平面薄片的重心 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、曲面的面积 二、平面薄片的重心 二重积分的应用 第八章 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力
一、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,2) 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为do,则 四do do=cosy.dA y+-刃 dA=1+f(x,y)+f(x,y)do (称为面积元素 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 n M d A d k 一、曲面的面积 x y z S O 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则 M n d
故有曲面面积公式 A=∬2V1+f(x)+x,)dc 即 dxdy. 若光滑曲面方程为x=x(y,),(少，)∈D,:,则有 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + Dxy x y A f x y f x y 1 ( ) ( ) d d . 2 2 x y y z x z A Dxy + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = x y z y z 则有 Dy z 即
若光滑曲面方程为y=y(2,x),(:,x)∈D。x,则有 4=1+2+8户da BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = y z x z x 则有 Dz x
例8.3.1求半径为R的球的表面积 解：利用球坐标方程 Rsin odO 设球面方程为r=R 球面面积元素为 Rsin o d A=R"sin ododo Rdo A-R"dsin odp =4πR2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例8.3.1 求半径为 R 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = R 球面面积元素为 d sin d d 2 A = R = π 0 2π 0 2 A R d sin d 2 = 4 π R Rsin Rd 利用球坐标方程. O R x y z d Rsin d