第5节 第七章 方向导款写梯意 一、方向导数 二、梯度 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第5节 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度
一、方向导数 定义1若函数f(x,y)在点P(x,y)处 沿方向1（方向角为，阝）存在下列极限 P(x,y) lim △f X p->0 lim f(x+△x,y+△y)-f(x,y)记作f al o风a 则称⊙f 为函数在点P处沿方向1的方向导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、方向导数 定义1 若函数 f (x, y) f →0 lim 则称 l f l f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y = → 在点 P(x, y) 处 沿方向 l (方向角为 , ) 存在下列极限: = 记作 P(x, y) l x y O ' P
定理若函数f(x,y)在点P(x,y)处可微， 则函数在该点沿任一方向1的方向导数存在，且有 01_⊙1cosa+ 01 0x cosB. y 其中a,B为的方向角 P(x,y) 证明：由函数f(x,y)在点P可微，得 AJ-8FAx+5 8x fAy+o(p) p()o() 1y 故 of=lim Af =+ al of cosB ∂x y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理 若函数 f (x, y) 在点P(x, y) 处可微, 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在 , f l f = →0 limcos cos , y f x f l f + = 证明: 由函数 f (x, y) y o( ) y f x x f f + + = = ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 故 cos cos y f x f + = P(x, y) l x y O ' P
特别： ·当与x轴同向(a-0.月-)时，有 of ∂f al 8x ·当与x轴反向（α=，B=时，有 ∂f of al 8x 对于三元函数f(x,y,)在点P(x,y,)处可微分，则 f lim f(x+△x,y+△y,2+△2)-f(x,y,2) al 0→0 of cosy x 0y z p=△)2+(42+（△2 Ax=pcos a,Ay=pcos B,Az=pcosy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 x f l f = 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0, α = β = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 , α = β = x f l f = − 对于三元函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微分，则 ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = l → f cos cos cos z f y f x f + + =
例7.5.1求函数z=x2+y在点(2,1)处沿方向7=37-47 的方向导数 解：向量1的方向余弦为 cosa= 5 cosB-- 4 =2x =4, =2y以 =2, (21 (2,1 ay2, (2,1) 故在点(2,1)处，所求方向导数 84月 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.5.1 求函数 在点 (2, 1) 处沿方向 的方向导数 . 2 4, (2,1) (2,1) = = x x z 解: 向量 l 的方向余弦为 2 2, (2,1) (2,1) = = y y z 故在点 (2, 1) 处，所求方向导数 . 5 4 5 4 2 5 3 4 = = + − l z