例2.利用Gauss公式计算积分I = [l(x? cosα+ y? cos β+ z? cos )dSZth其中为锥面×2+2=z2介于z=0及Zz= h 之间部分的下侧J解：作辅助面Z1: z=h, (x, )e Dxy : x2 + y2 ≤h2, 取上侧在上α=β=,=0记Z,Z,所围区域为2，则I =(+- JJ,(x2 cosα+ y2 cos β+2? cos)ds=2JJ。(x+y+2)dxdydz-JJ, h?dxdyC0000g
例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 为锥面 2 2 2 x + y = z h o z y 解: 作辅助面 x : , 1 z = h ( , ) : , 2 2 2 x y D x y h xy + 取上侧 + = 1 I ( − 1 )(x cos y cos z cos ) d S 2 2 2 + + , 0 2 1 = = = 在 上 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记 , 1 h 所围区域为, 则 = 2 (x + y + z)d x d y d z h x y Dx y d d 2 − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
I = 2[(x+ y+z)d xdydz - JJh?dxdyx1ZJJ,xdv=0利用对称性：ChJJ,ydv=0Zy_ zdxd ydz -π h4Sh2z.πzdz -h401练习：P231例3（改用nh42高斯公式计算）o
I = 2 (x + y + z)d xdydz = 2 z d x d ydz 4 − h h x y Dx y d d 2 − 4 2 1 = − h = h z 0 2 2 z dz 4 − h 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d 0 d 0 x v y v = = 利用对称性： 练习：P231例3（改用 高斯公式计算） h o z y x
练习。设为曲面z=2-×2_2,1≤z≤2 取上侧,求-yI = [l,(x3z+x)d ydz-x2yzdzdx-x22? dxd y.Zt解：作取下侧的辅助面Z1 : z=1(x,y)e Dxy :x? +y2<?I=-用极坐标用柱坐标Z+Z1Z1(-x)dxd yJJJ。 d xd ydz -(-1) JJ2" cos?dodpdodz-元4eoo
练习. ( )d d d d d d . 3 2 2 2 I = x z + x y z − x y z z x − x z x y 设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z = − x − y z 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 : 1 1 z = ( , ) : 1 2 2 x y Dx y x + y I = + − 1 1 = d x d ydz ( x )d x d y 2 − Dxy − (−1) = 2 0 d 1 0 d − 2 0 2 cos d 4 = 1 z o x y 2 1 用柱坐标 用极坐标 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例：设为yoz平面上的曲线z=1-y2(0≤z≤1)绕z轴旋转一周而成，且取上侧，计算，I=(/2x3dydz+2y3dzdx+2dxdy)(答案：3元）CHAU一机动目录上页下页返回结束
2 d d 2 d d 2 d d . 3 3 I = x y z + y z x + x y 例：设 为yoz平面上的曲线 z = 1− y 2 (0 z 1)绕z轴 (答案：3） 1 z o x y 1 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转一周而成，且取上侧，计算：
例3.计算曲面积分f-dydz+dzdx+1=0dxdi, Z:×2+2 +22=R2 取外侧其中, r= x2+y2 +z2,解：I=f, xdy dz + ydzdx + z dxdyR31T3dxdydz=4元RJQ思考：本题Z改为椭球面=1时，应如何622oa计算？元2提示：在椭球面内作辅助小球面x22取+y+z8内侧，然后用高斯公式.（=4元）
例3. 计算曲面积分 其中, , 2 2 2 r = x + y + z : . x 2 + y 2 + z 2 = R 2 取外侧 解: x y z R 3d d d 1 3 = 思考: 本题 改为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 时, 应如何 计算 ? 提示: 在椭球面内作辅助小球面 x 2 + y 2 + z 2 = 2 取 内侧, 然后用高斯公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束