南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第一章 函数与极限

定义：设x}为一数列，如果存在常数，对于任意给 定的正数&，总存在正整数N,使得当>N时，不等式 kx,-al<e 都成立，则称常数a是数列{x}的极限，或者称数列比} 收敛于a,记为 lim=a或xn→a(n-→oo) n-→oo 数列极限的精简版本定义（数学符号定义）： &-N定义：limx=a台 1n-o∞ Ve>0,N>0,使n>N时，恒有x,-M<c. 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 定义：设 {xn }为一数列  如果存在常数 a  对于任意给 定的正数   总存在正整数 N 使得当 n >N 时  不等式 |xn a |<  都成立  则称常数 a是数列 {xn }的极限  或者称数列 {xn } 收敛于 a  记为 nax  )( 或 n ax n n   lim ,,0,0 . lim      axNnN ax n n n 时使 恒有   N定义 : 数列极限的精简版本定义 (数学符号定义):

8-N定义：limx=a台 n->00 Ve>0,N>0,使n>N时，恒有xm-d<e. 其中V:每一个或任给的；3：至少有一个或存在 几何解释： 当n>N时，所有的点xn都落在(a-6,a+8)内， 只有有限个（至多只有N个）落在其外. 评注：数列极限的定义精确，但是以付出抽象为代价 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 几何解释 : ( ) . , ,),( 只有有限个 至多只有 个 落在其外 时当 所有的点 都落在 内 N  Nn x n   aa     N定义 : 其中  : 每一个或任给的 ;  : 至少有一个或存在 . ,,0,0 . lim      axNnN x a n n n 时使 恒有 评注： 数列极限的定义精确 ,但是以付出抽象为代价

limx=u台c>0,N>0,使n>时，恒有xn-d<&. n->oo 刚1证明imn+-I =1. n 证比，-1=n+(- - 1 n n 任给e>0,要使N。-<6只要<8，即n>日 、1 所以，取N=,则当>N时， 就 n+--1<e 即Ii n+(-0 =1. n n→o∞ n 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例 1 .1 )1( lim 1      n n n n 证明 证  1 n x 1 )1( 1     n n n n 1  任给  ,0   ,1 n 要使 x , 1  n 只要 , 1  即 n  所以 , ], 1 [  取 N  则当  Nn 时 ,      1 )1( 1 n n n 就有 .1 )1( lim 1      n n n n 即 lim   ,,0,0   .  n ax n axNnN n 时使 恒有

limx,=a台Ve>0,3N>0,使1>maxN,)时恒有x,-d<e n-0 例2试证lim (-1)” (n+1)2=0 证x,-0片 对8>0，要使1，-0k<&,即n>1 n 所以，取N=,则当n>N时， "-→(n+1)2 0 小结：证明的关键是根据所给的，能否证明定义中的正整数 N确实存在，或者说能否确实寻找到定义中规定的N,至于 所取的N为多大，是否是最小的，则无关紧要。 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例 2 证 小结：证明的关键是根据所给的 ，能否证明定义中的 正整数 N 确实存在，或者说能否确实寻找到定义中规定的 N ， 至于 所取的 N 为多大，是否是最小的，则无关紧要。 0 lim 0, 0, max( , , . n n n x a N n NN x a          使 )时恒有   0 )1( )1( lim 2 n     n n 试证 , 1 |0|   n x 要使 n )1( 1 0 )1( )1( |0| 2 2      n n x n n 对   ,0 所以 , ] , 1 [  取N  则当  Nn 时 ,     0 )1( )1( 2 n n 就有 0 )1( )1( lim 2     n n n 即 1 1   n 1 n  1  即 n 

1imxn=a→1>>0，N>0,使n>W时，恒有x,-a4<& n-0 例3证明limq”=0,其中q<1. n->o0 证q=0时，则1imq”=lim0=0: 11->o0 n→0 q≠0时，任给ε>0，xn-0=q"<&,ning<lne, Ins .n> Ing 取v-则当>. 就有q”-0<e,.limq”=0. n->oo 南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件

南阳师范学院数学与统计学院高等数学教研室高等数学课件 例 3   .1,0lim  q q n n 证明 其中 证  ,0 n n qx qn  ,lnln ], lnln [ q N  取  则当  Nn 时 ,  ,0 n 就有 q   .0lim  n n q lim   ;00lim   n  n n q  时,0 则 q q n ln ln   lim 1 0, 0, , . n n n x a N nN x a             使 时 恒有 q  时,0 任给   ,0