无穷区间上的积分有三种形式:f(xx,」f(x)dx和」。f(xd, 由于形式上有 f(xdx f(-1)dt=|f(-)dt 及 (x f(x)dx+ f(x)da 因此下面的讨论仅就∫。f(xkx形式来展开。 注意只有当「f(x)d和∫f(x)dx都收敛时,才认为∫二fx)x是 收敛的
无穷区间上的积分有三种形式： ( )d a f x x + ， ( )d a f x x − 和 f x x ( )d + − ， 由于形式上有 ( )d a f x x − x=−t = ( )d a f t t − + − − ( )d a f t t + − = − 及 f x x ( )d + − ( )d a f x x + = + ( )d a f x x − ， 因此下面的讨论仅就 ( )d a f x x + 形式来展开。 注意：只有当 ( )d a f x x + 和 ( )d a f x x − 都收敛时，才认为 f x x ( )d + − 是 收敛的
定义8.1.1设函数f(x)在[a,+∞)有定义,且在任意有限区间 a,Ac[a,+∞)上可积,若极限 lim f(x)dx A→+0 存在,则称反常积分∫。f(x)dx收敛(或称f(x)在+∞)上可积),其 积分值为 +0 f(x dx= lim f(x)dx: 4→+0Ja 否则称反常积分∫(x)发散。 对反常积分∫f(x)x与∫(x)x可类似地给出敛散性定义
定 义 8.1.1 设函数 f (x)在[a,+) 有定义，且在任意有限区间 [a, A] [a,+)上可积，若极限 A→+ lim ( )d A a f x x 存在，则称反常积分 ( )d a f x x + 收 敛（或称 f (x)在[a,+) 上可积），其 积分值为 ( )d a f x x + →+ = A lim ( )d A a f x x ； 否则称反常积分 ( )d a f x x + 发散。 对反常积分 ( )d a f x x − 与 f x x ( )d + − 可类似地给出敛散性定义
设f(x)在[a+∞)连续,F(x)是它在[a,+∞)上的一个原函数,由 Newton-Leibniz公式, f(x)dx=lim['f(x)dx=lim F(x)a=lm [F(A)-F(a) A→)+∞ 因此反常积分∫f(x)dx的敛散性等价 于函数极限mF(A)的敛散性。当函数 y=f(x) f(x)20时,反常积分「f(x)dx收敛表 示由曲线y=f(x),直线x=a和x轴所 界定区域的面积(图8.1.2)是个有限 值 图8.1.2
设 f (x)在[a,+)连续， F(x)是它在[a,+)上的一个原函数，由 Newton-Leibniz 公式， ( )d a f x x + →+ = A lim ( )d A a f x x →+ = A lim A a F(x) →+ = A lim [F(A) − F(a)]， 因此反常积分 ( )d a f x x + 的敛散性等价 于函数极限 lim F(A) A→+ 的敛散性。当函数 f (x) 0时，反常积分 ( )d a f x x + 收敛表 示由曲线 y = f (x)，直线 x = a和x 轴所 界定区域的面积（图 8.1.2）是个有限 值
例812讨论∫dx的敛散性(P∈R)。 解当p≠1时, A P x三lm A→+∞1 P A→+0 p(+∞,p<1 P dx= lim n x=lim In A A→+0 A→+∞ 因此,当P>1时,反常积分”收敛于n:当p≤1时,反 常积分∫,x发散
例 8.1.2 讨论 1 1 d p x x + 的敛散性（ p R ）。 解 当 p 1时， 1 1 d p x x + A p A p x 1 1 1 lim − = − + →+ p A p A − − = − →+ 1 1 lim 1 + = − , 1. , 1, 1 1 p p p 当 p = 1时， 1 1 dx x + A A x 1 lim ln →+ = A A lim ln →+ = = +。 因此，当 p 1时，反常积分 1 1 d p x x + 收敛于 1 p − 1 ；当 p 1时，反 常积分 1 1 d p x x + 发散
为了简便,通常我们仿照正常积分的 Newton- Leibniz公式的表达 形式,将反常积分形式地写成 f(x)dx= FO 其中F(+∞)理解为极限值lmF(x)。 x→+
为了简便，通常我们仿照正常积分的 Newton-Leibniz 公式的表达 形式，将反常积分形式地写成( )d a f x x + + = a F(x) ， 其中F(+) 理解为极限值 lim F(x) x→+