北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第8章 重积分 第3节 二重积分的应用

第3为 第八章 二重积分多的及用 曲面的面积 二、平面薄片的重心 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、曲面的面积 二、平面薄片的重心 二重积分的应用 第八章 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力

一、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D, 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,2) 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为do,则 do=cosy.d4 oy d A=1+fs(x,y)+fy2(x,y)do (称为面积元素) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 n  M d A d k 一、曲面的面积 x y z S O 设光滑曲面 Dxy S : z  f (x, y) , (x, y) 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d  cos  d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y  x  y   d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y   x  y (称为面积元素) 则   M n d

故有曲面面积公式 A=j八nV1+/(x,)+x,)da 即 dxdy 若光滑曲面方程为x=x(y,2),(y,)∈D,:,则有 1-产a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2     Dxy x y A f x y f x y 1 ( ) ( ) d d . 2 2 x y y z x z A Dxy         若光滑曲面方程为 y z z x y x A 1 ( ) ( ) d d 2 2         ( , ) , ( , ) , Dy z x  x y z y z  则有 Dy z 即

若光滑曲面方程为y=y(2,x),(二，x)∈Dx,则有 4=p1+02-8户da BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2         若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y  y z x z x  则有 Dz x

例8.3.1求半径为R的球的表面积. 解：利用球坐标方程 Rsin odO 设球面方程为r=R 球面面积元素为 Rsinp d A=R'sinododo Rdo 、A=Rdosinodo =4πR2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.3.1 求半径为 R 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r  R 球面面积元素为 d sin d d 2 A  R     π 0 2π 0 2 A R d sin d 2  4 π R Rsin Rd 利用球坐标方程. O   R x y z d Rsind