北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第8章 重积分 第1节 二重积分的概念与性质

第1为 第八章 二重积分的桡念与性质 一、两个实例 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质 第1节 一、两个实例 二、二重积分的概念 二重积分的概念与性质 第八章

一、两个实例 z=f(x,y) 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 底：xOy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想： “分割，近似，求和，取极限” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、两个实例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: z  f (x, y)  0 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割，近似，求和，取极限” D z  f (x, y)

(1)分割” 用任意曲线网分D为个小闭区域 2=f(x,y) △O1,△O2,…,△on 以它们为底把曲顶柱体分为n个f(5,n,) 小曲顶柱体 (2)近似” (5,7) △o 在每个△o,中任取一点(5，n,),则 △，≈f(5,7,)△o,(i=1,2,…,n (3)“求和” V=∑AY≈∑/5，n)Ao BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 D z  f (x, y) (1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个小闭区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 (2)“近似” 在每个 i ( , ), i i (3)“求和”    n i V Vi 1    n i i i i f 1 ( , )  ( , ) i i f   V f ( , ) (i 1, 2, , n)  i  i i  i   中任取一点 则 小曲顶柱体  i ( , ) i i

(4)“取极限” 定义△o,的直径为 (Ao,)=max{PP∥P.P∈△o} 令2=max{2(Ao,)} ≤i≤n z=f(x,y) 7=lm∑5，n)Ag, f(51,7) (5,7,)△o BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上负 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (4)“取极限” 定义i的直径为 ( i)  max P1P2 P1 ,P2  i 令 max ( )  1 i i n           n i i i i V f 1 0 lim ( , )   z  f (x, y) ( , ) i i f    i ( , ) i i

2.平面薄板的质量 有一个平面薄片，在xOy平面上占有闭区域D,其面密 度为4(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若4(x,y)≡4（常数），设D的面积为o,则 M=u.o 若4(x,y)非常数，仍可用 分割，近似，求和，取极限” 解决， 1)分割” 用任意曲线网分D为n个小区域△o1,△o2,…,△on 相应把薄片也分为小块 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄板的质量 有一个平面薄片, 在 xOy 平面上占有闭区域 D , 度为  (x, y)C,计算该薄片的质量 M . 若 (x, y)   (常数), 设D 的面积为 , 则 M    若  (x, y)非常数 , 仍可用 其面密 “分割，近似，求和，取极限” 解决. 1)“分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小块 . D y O x