北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第3节 全微分及其应用

第3节 第七章 全微分及其应用 一元函数y=f(x)的微分 Ay=A△x+O(△x) 、 应用 近似计算 dy=f'(x)△ 估计误差 本节内容： 一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第七章 二、全微分在近似计算中的应用 应用 第3节 一元函数 y = f (x) 的微分 y  Ax  o(x) dy  f (x)x   近似计算 估计误差 本节内容: 一、全微分的定义 全微分及其应用

一、全微分的定义 定义1如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y） 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △z= AAx+BAv+o(p),p =v(Ax)2+(Av)2 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y》 在点(x,y)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△y 若函数在域D内各点都可微，则称此函数在D内可微. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义 定义1 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )  z  f (x  x , y  y)  f (x, y)可表示成  z  Ax  B y  o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz  d f  Ax  By 若函数在域 D 内各点都可微, 2 2   (x)  (y) 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. AΔx  B Δy

当函数可微时： △-=lax+BA)+o(p小=0 △x-→0 △y→0 得 lim f(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x>0 4y-→0 即 函数z=f(化，y)在点（化，y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微 偏导数存在 (2)偏导数连续，二 函数可微 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束  z  Ax  B y  o( ) dz  d f  Ax  By (2) 偏导数连续 z  f (x  x, y  y)  f (x, y) lim( ) ( ) 0    Ax  By  o  下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x         当函数可微时 : 得 z y x      0 0 lim  0  f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

定理1（函数可微分的必要条件） 如果函数z=x,y) 在点心，y)处可微分，则该函数在点化，y)处连续 证因为函数z=x,y)在点(x,y)可微分，则 △z=A△x+BAy+O(P), 从而 Iim△z=lim[A△x+B△y+o(p)]=0, △x→>0 △X-→0 △y-→0 △y-→0 根据连续函数的等价定义得，函数z=x,y)在点 (x,y)处连续 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1(函数可微分的必要条件) 如果函数z＝f(x，y) 在点(x，y)处可微分，则该函数在点(x，y)处连续． 根据连续函数的等价定义得，函数z＝f(x，y)在点 (x，y)处连续． 证 因为函数z＝f(x，y)在点(x，y)可微分，则  z  Ax  By  o(  ), 从而 lim lim[ ( )] 0. 0 0 0 0                z A x B y o  y x y x

定理2（必要条件）若函数z=f(x,y)在点(，y)可微， 则该函数在该点的偏导数 ,e 必存在，且有 dz= y 8x 8y 证：因函数在点(x,y)可微，故△z=A△x+B△y+o(P) 令△y=0,得到对x的偏增量 △x2=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(Ax) 0z Ox △x→0△X 同样可证 B,因此有dz= 0y Ox BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点的偏导数 y z x z     , y y z x x z z        d  z f ( , y) f ( , y) x   x z    同样可证 B, y z    y y z x x z z        d  证:因函数在点(x, y) 可微, 故  z  Ax  By  o(  ), 令y  0,  Ax  o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x  x x 因此有 x zx x     0 lim  A