北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第4节 复合函数与隐函数求导法

第4节 第七章 复合函数与隐函数求导法 一、 多元复合函数的求导法则 二、 全微分形式不变性 三、隐函数的求导公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 一、多元复合函数的求导法则 二、全微分形式不变性 复合函数与隐函数求导法 第七章 三、隐函数的求导公式

一、多元复合函数的求导法则 定理1若函数u=p(x,y),v=x,y)在点(x,y)可导，=f(,V) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=[p(x,),y(x,y)] 在点(x,y)可导，且有 ∂z∂z 0z Ov 8x Bu 8x Bv 8x ∂z Oz Ou 0z Ov 0y Ou Oy Ov ay 证：设x取增量△x,则相应中间变量 X X 有增量△u,△v, △z= △+ v+o(p)(p=(A)2+(Av)") BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 z  f [ (x, y), (x, y)] 一、多元复合函数的求导法则 定理1 若函数u  (x, y), v (x, y)在点(x, y)可导,z  f (u,v) 在点(u,v) 处偏导连续, 在点(x,y) 可导, x v v z x u u z x z               z 则复合函数 证: 设 x 取增量△x , v v z u u z z          ( ( ) ( ) ) 2 2  o (  )   u  v 则相应中间变量 且有 u v x x 有增量△u ,△v , y v v z y u u z y z              

△z az△u oz△V Ou△x ay△x 尝* 令△x→0，则有△→0，△v→0， △u Bu v、Oy u △x 8x △x 8x X X △z lim oz∂u 0z 0v △x-→0 △x Ou 8x Oyax 02 0z Ou 0z Ov 链导公式) 8x Ou 0x Ov Ox BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 令 x  0, 则有u  0, v  0, x v v z x u u z x z x              0 lim ( 链导公式 ) x v v z x u u z x z             2 2 ( ) ( ) ( ) x v x o u         z u v x x x v x v x u x u           , x v v z x u u z x z              

说明：若定理中f(u,v)在点(u,v)偏导数连续减弱为 偏导数存在，则定理结论不一定成立 u-v u2+v2≠0 例如：=儿u,)分r2, u2+v2=0 u=t,v=t 易知： 0z Bu 0,0)=J(0,0)=0, aw-/Q0-0 的数2=f(1, dz 0z du Oz dv =0.1+0.1=0 dt 2 Ou dt Ov dt BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 若定理中f (u,v) 在点(u,v) 例如: z  f (u, v)  u  t , v  t 易知: (0,0) 0 , (0,0)     u f u z 但复合函数 z  f (t, t ) 2 1 d d  t z  t v v z t u u z d d d d         0 1 0 1  0 (0,0) 0 (0,0)     v f v z 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t  , 0 2 2 2 2 2    u v u v u v 0 , 0 2 2 u  v  则定理结论不一定成立

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如，2=f(u,V,w), u=p(t),v=v(t),w=@(t) dz 6z du 0z dv Oz dw + dt Ou dt Ov dt Ow dt =f0'+f5w'+f5o 2)中间变量是多元函数的情形.例如， z=f(,v),u=0(x,y),v=W(x,y) 8z 0z Ou 0z Ov =foi+Rwi ∂x Bu ax av 8x ∂z 0z Ou 8z.Ov =02+f3w3 Oy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. z  f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微.  t z d d     1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形. z  f (u,v) , u   (x, y), v  (x, y)    x z 11 21  f    f   1 2 2 2   f    f     y z z z u v w u v x y t t t t u u z d d    t v v z d d     t w w z d d     x u u z      x v v z       y u u z      y v v z       u   (t), v  (t), w  (t) 例如, 例如, x y