北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 第5节 方向导数与梯度

第5节 第七章 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第5节 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度

一、方向导数 定义1若函数f(x,y)在点P(x,y)处 沿方向1（方向角为α，B)存在下列极限： P(x,y) lim △f x p>0 0 lim f(x+△x,y+△y)-f(x,y)记作∂f p-→0 al 】 则称⊙f 为函数在点P处沿方向1的方向导数 al BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、方向导数 定义1 若函数 f (x, y)    f 0 lim 则称 l f   l f      ( ) ( ) , 2 2   x  y x   cos , y   cos     为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.   ( , ) ( , ) lim 0 f x  x y  y  f x y   在点P(x, y) 处 沿方向 l (方向角为 ,  ) 存在下列极限:  记作 P(x, y) l x y O ' P  

定理若函数f(x,y)在点P(x,y)处可微， 则函数在该点沿任一方向1的方向导数存在，且有 B1=Ofcosa+ fcosB. 其中a,B为l的方向角 P(x,y) 证明：由函数f(x,y)在点P可微，得 Aj=IAx+I△ytop) 8x 0y =p(wa一影as)）-olp） 故 of lim Af =2f cosa+ of cosB al p-→0 8x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理 若函数 f (x, y) 在点 P(x, y) 处可微 , 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在 ,   f l f     0 lim cos cos  , y f x f l f         其中 ,  为l的方向角. 证明: 由函数 f (x, y) y o ( ) y f x x f f              cos cos   y f x f      且有  o( ) 在点 P 可微 , 得 故 cos cos  y f x f       P(x, y) l x y O ' P  

特别： ·当/与x轴同向a=0,B=)时，有 of af al 8x ·当1与x轴反向(a=不，B=乃时，有 of of al 8x 对于三元函数f(x,y,)在点P(x,y,z)处可微分，则 of lim f(x+△x,y+△y,2+△)-f(x,y,2) al p→0 of osa+0Lcosg+ cos y x 0y 0z P=(A)2+(A)2+(A=2, Ax=pcosa,△y=PcoS阝，A2=pcosy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 x f l f      特别: • 当 l 与 x 轴同向  时,有 2 0,  α  β  • 当 l 与 x 轴反向  时,有 2 ,  α   β  x f l f       对于三元函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微分，则   ( , , ) ( , , ) lim 0 f x  x y  y z  z  f x y z  l  f   cos cos  cos z f y f x f             ( ) ( ) ( ) , 2 2 2   x  y  z x   cos , y   cos  , z   cos   

例7.5.1求函数z=x2+y在点2,1)处沿方向1=37-47 的方向导数 解：向量1的方向余弦为 3 4 cosa= 5 cosA=- 5 =2x =4, =2y =2, @x (2,1 (2,1) y2, (2,1) 故在点(2,1)处，所求方向导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.5.1 求函数z  x 2  y 2在点 (2, 1) 处沿方向l  3i  4 j 的方向导数 . , 5 3 cos  2 4, (2,1) (2,1)      x x z , 5 4 cos    解: 向量 l 的方向余弦为 2 2, (2,1) (2,1)     y y z 故在点 (2, 1) 处，所求方向导数 . 5 4 5 4 2 5 3 4               l z